作业帮怎样用反证法证明根号3是无理数啊
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/13 09:04:20
怎样用反证法证明根号3是无理数啊
分析：
①有理数的概念：
“有限小数”和“无限循环小数”统称为有理数.
整数和分数也统称为有理数.
所有的分数都是有理数,分子除以分母,最终一定是循环的.
②无理数的概念：无限不循环小数,可引申为“开方开不尽的数”.
③反证法的要领是假设一个明显荒谬的结论成立,然后正确地证明原假设是错误的.
假设(√3)是有理数,
∵ 1＜3＜4
∴(√1)＜(√3)＜(√4)
即：1＜(√3)＜2
∴(√3)不是整数.
∵整数和分数也统称为有理数,而(√3)不是整数
∴在假设“(√3)是有理数”的前提下,(√3)只能是一个分子分母不能约分的分数.
此时假设 (√3) = m/n(m、n均为正整数且互质,二者不能再约分,即二者除1外再无公因数)
两边平方,得：
m² / n² = 3
∴m² 是质数3的倍数
我们知道,如果两个数的乘积是3的倍数,那么这两个数当中至少有一个数必是3的倍数.
∴由“m² (m与m的乘积) 是质数3的倍数”得：正整数m是3的倍数.
此时不妨设 m = 3k(k为正整数)
把“m = 3k” 代入“m² / n² = 3” ,得：
(9k²) / n² = 3
∴3k² = n²
即：n² / k² = 3
对比“m² / n² = 3“ 同理可证
正整数n也是3的倍数
∴正整数m和n均为3的倍数
这与“m、n均为正整数且互质”相矛盾.
意即由原假设出发推出了一个与原假设相矛盾的结论,
∴原假设“(√3) = m/n(m、n均为正整数且互质,二者不能再约分,即二者除1外再无公因数)”是不成立的.
∴(√3) 不能是一个分子分母不能约分的分数
而已证(√3) 不是整数
∴(√3) 既 不是整数也不是分数,即(√3) 不是有理数.
∴(√3) 是无理数.
①有理数的概念：
“有限小数”和“无限循环小数”统称为有理数.
整数和分数也统称为有理数.
所有的分数都是有理数,分子除以分母,最终一定是循环的.
②无理数的概念：无限不循环小数,可引申为“开方开不尽的数”.
③反证法的要领是假设一个明显荒谬的结论成立,然后正确地证明原假设是错误的.
假设(√3)是有理数,
∵ 1＜3＜4
∴(√1)＜(√3)＜(√4)
即：1＜(√3)＜2
∴(√3)不是整数.
∵整数和分数也统称为有理数,而(√3)不是整数
∴在假设“(√3)是有理数”的前提下,(√3)只能是一个分子分母不能约分的分数.
此时假设 (√3) = m/n(m、n均为正整数且互质,二者不能再约分,即二者除1外再无公因数)
两边平方,得：
m² / n² = 3
∴m² 是质数3的倍数
我们知道,如果两个数的乘积是3的倍数,那么这两个数当中至少有一个数必是3的倍数.
∴由“m² (m与m的乘积) 是质数3的倍数”得：正整数m是3的倍数.
此时不妨设 m = 3k(k为正整数)
把“m = 3k” 代入“m² / n² = 3” ,得：
(9k²) / n² = 3
∴3k² = n²
即：n² / k² = 3
对比“m² / n² = 3“ 同理可证
正整数n也是3的倍数
∴正整数m和n均为3的倍数
这与“m、n均为正整数且互质”相矛盾.
意即由原假设出发推出了一个与原假设相矛盾的结论,
∴原假设“(√3) = m/n(m、n均为正整数且互质,二者不能再约分,即二者除1外再无公因数)”是不成立的.
∴(√3) 不能是一个分子分母不能约分的分数
而已证(√3) 不是整数
∴(√3) 既 不是整数也不是分数,即(√3) 不是有理数.
∴(√3) 是无理数.