若函数f(x+a/x-3)在[2,+无穷)上单调递增,求正实数a的取值范围

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/06/17 00:34:32

若函数f(x+a/x-3)在[2,+无穷)上单调递增,求正实数a的取值范围
已知f(x)= 2^x其反函数为f-1(x),
1)若关于x的方程f-1(ax)*f-1(ax^2)=f-1(16)的解都在(0,1)内,求实数a的取值范围
2）若函数f-1(x+a/x-3)在[2,+无穷）上单调递增,求正实数a的取值范围

以下尖括号内括的是底数.
1、f-1(x)=log(x)
由已知f-1(ax)*f-1(ax^2)=f-1(16),保证真数为正数,有a>0,式子变形得
log(ax)* log (ax^2)= log (16)
[ log(a) +log(x) ]* [ log a +2log(x) ]= 4
令t= log(x),因为x∈(0,1),所以t∈(-∞,0),上式变为
[ log(a) +t ]* [ log a +2t ]= 4
2t²+3tlog(a)+ log²(a)-4=0
因为上方程的解t∈(-∞,0),即t12,也即a>4.
所以实数a的取值范围是a>4.
2、因为f-1(x)=log(x)
所以函数f-1(x+a/x-3)= log( x+a/x-3)
因为已知a>0,所以x只能为正,不能取负,否则真数小于0.
log( x+a/x-3)与( x+a/x-3)单调性是一致的,依题意可知
( x+a/x-3) 在[2,+∞）上单调递增,
令g(x)=x+a/x-3 （x>0,y>0）
则g(x)是由勾函数x+a/x的右支向下平移3个单位得到的,所以是个勾函数在第一象限的部分,这样图像会出现两种情况：
（1）若图像完整,则g(x)在x∈(0,√a]上单调递减,在x∈[√a,+∞)上单调递增,在x=√a时,勾函数处于最低点.所以
g(√a)= 2√a-3≥0,且依题意有2≥√a,解这个不等式组得9/4≤a≤4.
（2）若图像不完整,被x轴截去下部,只剩两只爪,令g(x)=0以求图像与x轴的两个交点,得x+a/x-3=0,即x²-3x+a=0,则有
△=9-4a>0 …………①
x=0.5[3±√(9-4a)]
g(x)在x∈(0,0.5[3-√(9-4a)]]上单调递减,在x∈[0.5[3+√(9-4a)],+∞)上单调递增,依题意有
2≥0.5[3+√(9-4a)] …………②
解①②组成的不等式组得2≤a

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