高中平面几何的一个问题

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/27 12:48:49

高中平面几何的一个问题
在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=6,AA1=3.求AC1与B1C所成角的余弦值?下面是我画的图,求余弦少了个条件就是A2B1的长度求不出来,

方法一：
AC1在BB1C1C上的投影是BC1,BC1与B1C的夹角是角BCC1的两倍,tg（角BCC1）=3/6=1/2,tg(2*角BCC1)=(2*1/2)/(1-1/4)==4/3,cos(2*角BCC1）=3/5;
cos（BC1与B1C的夹角）=cos(2*角BCC1）=3/5;
cos(角AC1B)=根号5/3;
而cos（AC1与B1C所成角）=cos（BC1与B1C的夹角）*cos（角AC1B）(利用线垂直于面来证明),(证明从略)=3/5*根号5/3=根号5/5 .
所以所求的余弦值为根号5/5 .
方法二：
当然,用直角坐标的矢量的点乘也可以得到相同的结果.用到矩阵分析、线性代数的知识：（矢量（AC1与BC1的）内积）
A(0,0,3)
B1(6,0,0)
C1（6,6,0）
C(6,6,3)
AC1=(6,6,-3),B1C=(0,6,3)
AC1点乘BC1=|AC1|*|BC1|*cos（两个矢量的夹角）；
cos（两个矢量的夹角）=(Ac1,B1C)/(|AC1|*|BC1|)=(0+36-9)/(3*9*根号5）
=根号5/5 .

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