设二次函数f（x）=ax2+bx+c在区间[-2，2]上的最大值、最小值分别为M、m，集合A={x|f（x）=x}．

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/21 17:51:04

设二次函数f（x）=ax²+bx+c在区间[-2，2]上的最大值、最小值分别为M、m，集合A={x|f（x）=x}．
（1）若A={1，2}，且f（0）=2，求M和m的值；
（2）若A={2}，且a≥1，记g（a）=M+m，求g（a）的最小值．

（1）∵f（0）=2，∴c=2
∵A={1，2}，∴ax²+（b-1）x+2=0有两根为1，2．
由韦达定理得，

2
a＝1×2

1−b
a＝1+2∴

a＝1
b＝−2
∴f（x）=x²-2x+2
∵x∈[-2，2]，∴M=f（-2）=10，m=f（1）=1
（2）若A={2}，方程ax²+（b-1）x+c=0有两相等实根x₁=x₂=2，
根据韦达定理得到：2+2=-
b−1
a，2×2＝
c
a，所以c=4a，b=1-4a，
∴f（x）=ax²+bx+c=ax²+（1-4a）x+4a，x∈[-2，2]
其对称轴方程为x=
4a−1
2a＝2−
1
2a∈[
3
2，2)
∴M=f（-2）=16a-2，m=f（2-
1
2a）=2-
1
4a
则g（a）=M+m=16a-2+2-
1
4a=16-
1
4a
又g（a）在区间[1，+∞）上为单调递增的，
∴当a=1时，g（a）_min=16-
1
4=
63
4