作业帮零点九九的循环是否为有理数,请说明理由.
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/30 11:57:13
零点九九的循环是否为有理数,请说明理由.
1.用小学生的观点：
1/3=0.333……,
1=1/3*3=0.333……*3=0.999……
2.用高中生的观点：
把0.999……看成0.9+0.09+0.009+……,这是一个首项为0.9,公比为0.1的等比数列,用无穷项等比数列求和公式可得结果等于1,要注意用求和公式算出的结果是完完全全的相等,不是近似.
3.用大学生的观点：
用求极限或者级数求和的办法,可以得到0.999……=1.无穷项等比数列求和公式本质上也是这个方法.
4.用实数理论的解释：
实数理论规定：任何实数都是无限小数.有理数是无限循环小数,无理数是无限不循环小数.
而我们大部分人知道的结论是:实数包括整数和小数,小数包括有限小数和无限小数,无限小数又包括无限循环小数和无限不循环小数.有理数是整数或者有限小数或者无限循环小数,无理数是无限不循环小数.
这和实数理论多少有些出入.差别就在整数和有限小数上.不过,实数理论在这些地方做了明确规定,任何整数和有限小数都可以表示成无限循环小数.具体做法如下：
对于整数,如2=1.999……,0=0.000……,-2=-1.999……
对于有限小数,如0.2=0.1999……,-1.3=-1.2999……
用一句话来说,就是：除0外,所有整数和有限小数的循环节都是9.
把2表示成无限小数2.000……在数学上是非法的.
所以,0.999……和1就是有理数1的两种官方表示.
1/3=0.333……,
1=1/3*3=0.333……*3=0.999……
2.用高中生的观点：
把0.999……看成0.9+0.09+0.009+……,这是一个首项为0.9,公比为0.1的等比数列,用无穷项等比数列求和公式可得结果等于1,要注意用求和公式算出的结果是完完全全的相等,不是近似.
3.用大学生的观点：
用求极限或者级数求和的办法,可以得到0.999……=1.无穷项等比数列求和公式本质上也是这个方法.
4.用实数理论的解释：
实数理论规定：任何实数都是无限小数.有理数是无限循环小数,无理数是无限不循环小数.
而我们大部分人知道的结论是:实数包括整数和小数,小数包括有限小数和无限小数,无限小数又包括无限循环小数和无限不循环小数.有理数是整数或者有限小数或者无限循环小数,无理数是无限不循环小数.
这和实数理论多少有些出入.差别就在整数和有限小数上.不过,实数理论在这些地方做了明确规定,任何整数和有限小数都可以表示成无限循环小数.具体做法如下：
对于整数,如2=1.999……,0=0.000……,-2=-1.999……
对于有限小数,如0.2=0.1999……,-1.3=-1.2999……
用一句话来说,就是：除0外,所有整数和有限小数的循环节都是9.
把2表示成无限小数2.000……在数学上是非法的.
所以,0.999……和1就是有理数1的两种官方表示.