作业帮矩阵论问题:一个矩阵和一个可逆矩阵"相似"/"合同",有什么意义的差别?
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/29 14:12:41
矩阵论问题:一个矩阵和一个可逆矩阵"相似"/"合同",有什么意义的差别?
A矩阵和可逆阵B相似是B=M(-1)AM,合同是B=M(T)AM
这两个概念上的细微差别,导致了性质上有多少区别?为什么要引入这两个看起来很像的概念?性质上和应用上有很大的不同吗?
.....
A矩阵和可逆阵B相似是B=M(-1)AM,合同是B=M(T)AM
这两个概念上的细微差别,导致了性质上有多少区别?为什么要引入这两个看起来很像的概念?性质上和应用上有很大的不同吗?
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1.合同是针对对称矩阵来说的,也就是在二次型里面才有,两个矩阵的正惯性指数相等就合同
2.矩阵等价:与等价矩阵能够经过初等变换变成矩阵；
3.相似:存在可逆矩阵,使得A=M^(-1)*B*M.实对称矩阵相似就必合同.
4.总而言之:
1）矩阵等价:
PAQ=B,P、Q为可逆,就是A等价B
2）矩阵相似:
P^-1AP=B,就说A相似B
3）矩阵合同:
A、B均为实对称矩阵,若存在可逆矩阵C
C^TAC=B,就说C合同B
5.他们之间的关系
等价是合同或者相似得必要条件.
相似不过是有可逆的矩阵使得AP=PB
合同是存在正交阵让上面的式子成立,如果有条件是A实对称阵,则可以找到一个特殊的P,这个P的可逆等于它的正交阵,所以才有实对称矩阵相似就必合同
如果A不是实对称则相似是相似,合同是合同,2者毫无瓜葛
6.何时是一个概念:
实对称矩阵一定能相似对角化（就是与对角阵相似）
普通矩阵不一定能相似对角化
A与B合同定义：A=P'*B*P;
A与B相似的定义：A=inv(P)*B*P;【inv是求逆操作】
所以当P是酉矩阵的话（P*P'=I）,合同等价于相似.
2.矩阵等价:与等价矩阵能够经过初等变换变成矩阵；
3.相似:存在可逆矩阵,使得A=M^(-1)*B*M.实对称矩阵相似就必合同.
4.总而言之:
1）矩阵等价:
PAQ=B,P、Q为可逆,就是A等价B
2）矩阵相似:
P^-1AP=B,就说A相似B
3）矩阵合同:
A、B均为实对称矩阵,若存在可逆矩阵C
C^TAC=B,就说C合同B
5.他们之间的关系
等价是合同或者相似得必要条件.
相似不过是有可逆的矩阵使得AP=PB
合同是存在正交阵让上面的式子成立,如果有条件是A实对称阵,则可以找到一个特殊的P,这个P的可逆等于它的正交阵,所以才有实对称矩阵相似就必合同
如果A不是实对称则相似是相似,合同是合同,2者毫无瓜葛
6.何时是一个概念:
实对称矩阵一定能相似对角化（就是与对角阵相似）
普通矩阵不一定能相似对角化
A与B合同定义：A=P'*B*P;
A与B相似的定义：A=inv(P)*B*P;【inv是求逆操作】
所以当P是酉矩阵的话（P*P'=I）,合同等价于相似.