作业帮如何用正弦定理证明余弦定理 如何用余弦定理证明正弦定理
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/30 14:59:52
如何用正弦定理证明余弦定理 如何用余弦定理证明正弦定理
由正弦证余弦我已经做到了 4R²（sin²B+sin²C+2sinBsinCcosBcosC-2sinBsinC·sinBsinC） 余弦证正弦做到了4a²b²c²／﹙2bc+b²+c²-a²﹚﹙2bc-b²-c²+a²﹚ 高人指点
由正弦证余弦我已经做到了 4R²（sin²B+sin²C+2sinBsinCcosBcosC-2sinBsinC·sinBsinC） 余弦证正弦做到了4a²b²c²／﹙2bc+b²+c²-a²﹚﹙2bc-b²-c²+a²﹚ 高人指点
第一个问题：
∵A＋B＝180°－C,
∴sinC＝sin（A＋B）＝sinAcosB＋cosAsinB,－cosC＝cos（A＋B）.
∴（sinC）^2
＝（sinAcosB）^2＋2sinAcosBcosAsinB＋（cosAsinB）^2
＝（sinA）^2［1－（sinB）^2］＋［1－（sinA）^2］（sinB）^2＋2sinAcosBcosAsinB
＝（sinA）^2－（sinAsinB）^2＋（sinB）^2－（sinAsinB）^2＋2sinAcosBcosAsinB
＝（sinA）^2＋2sinAsinB（cosAcosB－sinAsinB）＋（sinB）^2
＝（sinA）^2＋（sinB）^2＋2sinAsinBcos（A＋B）
＝（sinA）^2＋（sinB）^2－2sinAsinBcosC.
∴（2RsinC）^2＝（2RsinA）^2＋（2RsinB）^2＝2（2RsinA）（2RsinB）cosC.
由正弦定理,有：a/sinA＝b/sinB＝c/sinC＝2R,∴a＝2RsinA、b＝2RsinB、c＝2RsinC,
∴c^2＝a^2＋b^2－2abcosC.
同理可证：a^2＝b^2＋c^2－2bccosA、b^2＝a^2＋c^2－2accosB.
第二个问题：
∵a^2＝b^2＋c^2－2bccosA、b^2＝a^2＋c^2－2accosB,两式相减,得：
a^2－b^2＝b^2－a^2－2bccosA＋2accosB,∴2（a^2－b^2）＝2c（acosB－bcosA）,
∴c＝（a^2－b^2）/（acosB－bcosA）,
∴a^2
＝b^2＋［（a^2－b^2）/（acosB－bcosA）］^2
－2b［（a^2－b^2）/（acosB－bcosA）］cosA,
∴（a^2－b^2）（acosB－bcosA）^2＝（a^2－b^2）^2
－2b（a^2－b^2）（acosB－bcosA）cosA,
∴a＝b,或（acosB－bcosA）^2＝a^2－b^2－2b（acosB－bcosA）cosA.
一、当a＝b时,自然有：a/sinA＝b/sinB.
二、当（acosB－bcosA）^2＝a^2－b^2－2b（acosB－bcosA）cosA时,得：
（acosB）^2＋（bcosA）^2－2abcosAcosB＝a^2－b^2－2abcosAcosB＋2（bcosA）^2,
∴a^2［1－（cosB）^2］＝b^2［1－（cosA）^2］,
∴（asinB）^2＝（bsinA）^2,∴asinB＝bsinA,∴a/sinA＝b/sinB.
综合一、二,得：a/sinA＝b/sinB.同理可证：a/sinA＝c/sinC.
∴a/sinA＝b/sinB＝c/sinC.
∵A＋B＝180°－C,
∴sinC＝sin（A＋B）＝sinAcosB＋cosAsinB,－cosC＝cos（A＋B）.
∴（sinC）^2
＝（sinAcosB）^2＋2sinAcosBcosAsinB＋（cosAsinB）^2
＝（sinA）^2［1－（sinB）^2］＋［1－（sinA）^2］（sinB）^2＋2sinAcosBcosAsinB
＝（sinA）^2－（sinAsinB）^2＋（sinB）^2－（sinAsinB）^2＋2sinAcosBcosAsinB
＝（sinA）^2＋2sinAsinB（cosAcosB－sinAsinB）＋（sinB）^2
＝（sinA）^2＋（sinB）^2＋2sinAsinBcos（A＋B）
＝（sinA）^2＋（sinB）^2－2sinAsinBcosC.
∴（2RsinC）^2＝（2RsinA）^2＋（2RsinB）^2＝2（2RsinA）（2RsinB）cosC.
由正弦定理,有：a/sinA＝b/sinB＝c/sinC＝2R,∴a＝2RsinA、b＝2RsinB、c＝2RsinC,
∴c^2＝a^2＋b^2－2abcosC.
同理可证：a^2＝b^2＋c^2－2bccosA、b^2＝a^2＋c^2－2accosB.
第二个问题：
∵a^2＝b^2＋c^2－2bccosA、b^2＝a^2＋c^2－2accosB,两式相减,得：
a^2－b^2＝b^2－a^2－2bccosA＋2accosB,∴2（a^2－b^2）＝2c（acosB－bcosA）,
∴c＝（a^2－b^2）/（acosB－bcosA）,
∴a^2
＝b^2＋［（a^2－b^2）/（acosB－bcosA）］^2
－2b［（a^2－b^2）/（acosB－bcosA）］cosA,
∴（a^2－b^2）（acosB－bcosA）^2＝（a^2－b^2）^2
－2b（a^2－b^2）（acosB－bcosA）cosA,
∴a＝b,或（acosB－bcosA）^2＝a^2－b^2－2b（acosB－bcosA）cosA.
一、当a＝b时,自然有：a/sinA＝b/sinB.
二、当（acosB－bcosA）^2＝a^2－b^2－2b（acosB－bcosA）cosA时,得：
（acosB）^2＋（bcosA）^2－2abcosAcosB＝a^2－b^2－2abcosAcosB＋2（bcosA）^2,
∴a^2［1－（cosB）^2］＝b^2［1－（cosA）^2］,
∴（asinB）^2＝（bsinA）^2,∴asinB＝bsinA,∴a/sinA＝b/sinB.
综合一、二,得：a/sinA＝b/sinB.同理可证：a/sinA＝c/sinC.
∴a/sinA＝b/sinB＝c/sinC.