作业帮请教一道定积分不等式的证明题,
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/01 11:03:20
请教一道定积分不等式的证明题,
第十二题.
第十二题.
设 g(x) = (x-a) * 【ln [ ∫ (0\x) f(t)dt ] - ln(x-a)】 - ∫ (0\x) ln f(t) dt
g(a+0) = 0
g '(x) = ln [ ∫ (0\x) f(t)dt ] - ln(x-a) + (x-a) * f(x) / [ ∫ (0\x) f(t)dt ] - 1 - ln f(x)
= ln【 ∫ (0\x) f(t)dt / [ (x-a) f(x)]】- 1 + （x-a) * f(x) / [ ∫ (0\x) f(t)dt ]
令 u = (x-a) * f(x) / [ ∫ (0\x) f(t)dt ] ,u>0,g '(x) = u - lnu - 1
h(u) = u - lnu - 1 在 u =1 取得最小值 h(1)=0 => h(u) ≥ 0
即 g '(x) ≥ 0,g(x) 单增,当 x∈(a,b] 时,g(x) ≥ g(a+0) = 0
g(b) ≥ 0 => 原不等式成立.
遇到类似的题目,尽管不等号两边都是常量,有时可以考虑化成函数来解决问题.
g(a+0) = 0
g '(x) = ln [ ∫ (0\x) f(t)dt ] - ln(x-a) + (x-a) * f(x) / [ ∫ (0\x) f(t)dt ] - 1 - ln f(x)
= ln【 ∫ (0\x) f(t)dt / [ (x-a) f(x)]】- 1 + （x-a) * f(x) / [ ∫ (0\x) f(t)dt ]
令 u = (x-a) * f(x) / [ ∫ (0\x) f(t)dt ] ,u>0,g '(x) = u - lnu - 1
h(u) = u - lnu - 1 在 u =1 取得最小值 h(1)=0 => h(u) ≥ 0
即 g '(x) ≥ 0,g(x) 单增,当 x∈(a,b] 时,g(x) ≥ g(a+0) = 0
g(b) ≥ 0 => 原不等式成立.
遇到类似的题目,尽管不等号两边都是常量,有时可以考虑化成函数来解决问题.