作业帮求大侠帮忙证明~高等代数线性变换题
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/29 19:33:44
求大侠帮忙证明~高等代数线性变换题
设V为n维复线性空间,EndV为V上所有线性变换构成的线性空间,又A,B为EndV的子空间,且A包含于B,令M={x∈EndV| xy-yx∈A,对任意y∈B}.假定X0∈M满足条件tr(X0y)=0（对任意y∈M）,证明：X0必为幂零线性变换
设V为n维复线性空间,EndV为V上所有线性变换构成的线性空间,又A,B为EndV的子空间,且A包含于B,令M={x∈EndV| xy-yx∈A,对任意y∈B}.假定X0∈M满足条件tr(X0y)=0（对任意y∈M）,证明：X0必为幂零线性变换
这个题就是叙述有点绕,想到地方了就简单了.
要证明x0幂零只需要证明其只有0特征值.
容易验证,对任何多项式g(x),有g(x0)∈M.
设x0有特征值λ1,λ2,...,λt(不计重数,两两不等).
假设x0有非零特征值,不妨设λ1 ≠ 0.
考虑多项式g(x) = (x-λ2)...(x-λt),与f(x) = xg(x),则f(λ1) ≠ 0.
f(x0)的特征值相应为f(λ1),f(λ2),...,f(λt)(这里允许重复),除了f(λ1)以外都为0.
而f(λ1) ≠ 0,f(x0)的特征值的和 ≠ 0,也即tr(f(x0)) ≠ 0.
然而取y = g(x0)∈M,由条件有tr(f(x0)) = tr(x0g(x0)) = 0,矛盾.
因此x0只有0特征值,所以是幂零线性变换.
再问： 谢谢你的解答，可M以线性变换为元素啊……
再答： 不太明白你的问题. 你是对线性变换带入多项式有疑问? 这样的话就取V的一组基, 把线性变换都对应为矩阵, 所有论证对矩阵进行. 其实线性变换的多项式也不难理解, 加法是现成的, 乘法就是复合. 这样运算和对应的矩阵是一致的. ------------------------------------------------------------------------------------------------ 不好意思, 刚刚发现证明的严重问题: 没有办法证明g(x0)∈M. 正在重新考虑, 请耐心等候.
要证明x0幂零只需要证明其只有0特征值.
容易验证,对任何多项式g(x),有g(x0)∈M.
设x0有特征值λ1,λ2,...,λt(不计重数,两两不等).
假设x0有非零特征值,不妨设λ1 ≠ 0.
考虑多项式g(x) = (x-λ2)...(x-λt),与f(x) = xg(x),则f(λ1) ≠ 0.
f(x0)的特征值相应为f(λ1),f(λ2),...,f(λt)(这里允许重复),除了f(λ1)以外都为0.
而f(λ1) ≠ 0,f(x0)的特征值的和 ≠ 0,也即tr(f(x0)) ≠ 0.
然而取y = g(x0)∈M,由条件有tr(f(x0)) = tr(x0g(x0)) = 0,矛盾.
因此x0只有0特征值,所以是幂零线性变换.
再问： 谢谢你的解答，可M以线性变换为元素啊……
再答： 不太明白你的问题. 你是对线性变换带入多项式有疑问? 这样的话就取V的一组基, 把线性变换都对应为矩阵, 所有论证对矩阵进行. 其实线性变换的多项式也不难理解, 加法是现成的, 乘法就是复合. 这样运算和对应的矩阵是一致的. ------------------------------------------------------------------------------------------------ 不好意思, 刚刚发现证明的严重问题: 没有办法证明g(x0)∈M. 正在重新考虑, 请耐心等候.