10.某校数学课外小组,在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下：第k棵树种植在点处,其中,当k≥2时,

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/27 20:42:15

10.某校数学课外小组,在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下：第k棵树种植在点处,其中,当k≥2时,
,[a]表示非负实数的整数部分,例如[2.6]=2,[0.2]=0.按此方案,第2009棵树种植点的坐标为
A.（5,2009） B.（6,2010） C.（3,401） D（4,402）
Xk的规律是2、3、4、5、6、1、2、3、4、5、6、1、2、3、4、5、6、1…… 当k=2009时,Xk=4
Yk的规律是1、1、1、1、1、2、2、2、2、2、3、3、3、3、3、4……
为什么是这样的规律,看不懂,x为什么不能大于6,y为什么是这样,题中怎么看

这里有两个递推式,{xk},{yk}是分别独立定义的;化简两个递推式并从中发现规律,是解本题的必由之路.
注意到k-15-k-25=15.对k按被5除的余数进行分类：当5l+2≤k≤5l+5（l=0,1,2,…）时,Tk-15-Tk-25=0;当k=5l+1（l=1,2,3,…）时,Tk-15-Tk-25=1.
由此可得,Tk-15-Tk-25(k≥2,k∈N)的值是以5为周期而变化的,依次为0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,….发现此规律是解本题的关键所在.因为由此便可以化简两个递推式.
对递推式①,当5l+2≤k≤5l+5(l=0,1,2,…)时,xk=xk-1+1;③
当k=5l+1(l=1,2,3,…)时,xk=xk-1-4.④
对递推式②,当5l+2≤k≤5l+5(l=0,1,2…)时,yk=yk-1;⑤
当k=5l+1(l=1,2,3…)时,yk=yk-1+1.⑥
由③④得,x6=(x6-x5)+(x5-x4)+(x4-x3)+(x3-x2)+(x2-x1)+x1=-4+1+1+1+1+x1=x1=1;
由⑤⑥得,y5=y4=y3=y2=y1=1,y6=y5+1=2.
所以第6棵树种植点的坐标为（1,2）.
2 008=5×401+3.
由③④可推得{xk}是以5为周期的数列,于是得
x2 008=x3=x2+1=x1+1+1=3.
由⑤⑥可推得y5l+1=y5l+2=y5l+3=y5l+4=y5(l+1)=l+1(l=0,1,2,…),于是得y2 008=401+1=402.
所以第2 008棵树种植点的坐标为(3,402).
评注点是数在二维上的推广,点列是数列在二维上的推广.学过点的坐标也学过数列（递推式）,所以我们应该能把相关知识应用到点列问题中.

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