作业帮求解一体,高二数学,双曲线的简单几何性质 （拜托说明清楚点.）
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/30 11:48:36
求解一体,高二数学,双曲线的简单几何性质 （拜托说明清楚点.）
已知双曲线C：x²/a²-y²/b²=1（a＞0,b＞0）的一个焦点是F2（2,0）,离心率e=2
（1）求双曲线C的方程
（2）若以k（≠0）为斜率的直线L与双曲线C相交于两个不同点M、N,线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为4,求实数k的取值范围
已知双曲线C：x²/a²-y²/b²=1（a＞0,b＞0）的一个焦点是F2（2,0）,离心率e=2
（1）求双曲线C的方程
（2）若以k（≠0）为斜率的直线L与双曲线C相交于两个不同点M、N,线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为4,求实数k的取值范围
(1)由c=2,e=c/a=2,b^2=c^2-a^2易得C：x^2-y^2/3=1
(2)不妨令直线L：y=kx+m,点M(x1,y1)、N(x2,y2)
注意到k≠±√3.否则直线L与渐近线平行,与双曲线最多只有一个交点
还注意到m≠0.如果m=0,则直线L过双曲线中心（原点）,而MN的中点正好是原点,也就是说线段MN的垂直平分线过原点,与两坐标轴不能围成三角形
将直线L的方程代入双曲线C的方程有(3-k^2)x^2-2mkx-(m^2+3)=0
因直线L与双曲线C相交于两个不同点M、N,则⊿=m^2-k^2+3>0（I）
同时由韦达定理有x1+x2=2mk/(3-k^2)
因M、N在直线L上,则
y1=kx1+m
y2=kx2+m
两式相加得y1+y2=k(x1+x2)+2m
则y1+y2=6m/(3-k^2)
由中点公式得MN的中点为（(x1+x2)/2,(y1+y2)/2）
则MN的垂直平分线：y-(y1+y2)/2=-1/k[x-(x1+x2)/2]
其与坐标轴的截距分别为：
x轴截距：(x1+x2)/2+k(y1+y2)/2=4mk/(3-k^2)
y轴截距：(x1+x2)/(2k)+(y1+y2)/2=4m/(3-k^2)
依题有1/2*|4mk/(3-k^2)|*|4m/(3-k^2)|=4
即(3-k^2)^2=2m^2|k|（II）
由（I）（II）得(3-k^2)^2>2|k|(3-k^2)
当k^2>3即k√3时,由上式得3-k^2
(2)不妨令直线L：y=kx+m,点M(x1,y1)、N(x2,y2)
注意到k≠±√3.否则直线L与渐近线平行,与双曲线最多只有一个交点
还注意到m≠0.如果m=0,则直线L过双曲线中心（原点）,而MN的中点正好是原点,也就是说线段MN的垂直平分线过原点,与两坐标轴不能围成三角形
将直线L的方程代入双曲线C的方程有(3-k^2)x^2-2mkx-(m^2+3)=0
因直线L与双曲线C相交于两个不同点M、N,则⊿=m^2-k^2+3>0（I）
同时由韦达定理有x1+x2=2mk/(3-k^2)
因M、N在直线L上,则
y1=kx1+m
y2=kx2+m
两式相加得y1+y2=k(x1+x2)+2m
则y1+y2=6m/(3-k^2)
由中点公式得MN的中点为（(x1+x2)/2,(y1+y2)/2）
则MN的垂直平分线：y-(y1+y2)/2=-1/k[x-(x1+x2)/2]
其与坐标轴的截距分别为：
x轴截距：(x1+x2)/2+k(y1+y2)/2=4mk/(3-k^2)
y轴截距：(x1+x2)/(2k)+(y1+y2)/2=4m/(3-k^2)
依题有1/2*|4mk/(3-k^2)|*|4m/(3-k^2)|=4
即(3-k^2)^2=2m^2|k|（II）
由（I）（II）得(3-k^2)^2>2|k|(3-k^2)
当k^2>3即k√3时,由上式得3-k^2