用解析法证明:等腰三角形底边延长线上一点到两腰的距离之差等于一腰上的高

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/13 04:54:14

已知：点D是等腰三角形ABC的底边BC延长线上一点,BE⊥AC,垂足是E,DM⊥AB,垂足是M,DN⊥AC,垂足是N,求证：|DM-DN|=BE
证明：作过点A作BC的中垂线,垂足是O,以点O为原点,BC所在直线为x轴,以底边BC的中垂线为y轴,建立平面直角坐标系
由此设点A坐标为(0,a),点B,C坐标分别为(-b,0)、(b,0),点D坐标为(d,0),其中a>0,d>b>0,
则直线AB的斜率k(AB)=(0－a)/(-b-0)=a/b；直线AC的斜率k(AC)=(0-a)/(b-0)=-a/b
所以直线AB的方程可写为：y＝a/b *x+a即ax－by+ab＝0；
直线AC的方程可写为：y=-a/b *x+a即ax+by－ab＝0
则点D到直线AB的距离：DM=|ad+ab|/√(a²+b²)
点D到直线AC的距离：DN=|ad-ab|/√(a²+b²)
点B到直线AC的距离：BE=|-ab-ab|/√(a²+b²)
因为a>0,d>b>0,所以：
DM=(ad+ab)/√(a²+b²)；DN=(ad-ab)/√(a²+b²)；BE=2ab/√(a²+b²)
则|DM-DN|=|(ad+ab)/√(a²+b²) -(ad-ab)/√(a²+b²)|=|2ab/√(a²+b²)|=2ab/√(a²+b²)=BE
即得证:等腰三角形底边延长线上一点到两腰的距离之差等于一腰上的高
以上是点D在x轴正半轴上即点C右侧(d>b>0)的情形.
当然如果点D在x轴负半轴上即点B左侧时(d