作业帮一道高一数学二次函数题
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/29 02:02:49
一道高一数学二次函数题
已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c,且f(-1)=0,问是否存在常数a,b,c,使得2x≤f(x)≤x2+1对一切实数x都成立?如果存在,求出它们的值；如果不存在,请说明理由
已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c,且f(-1)=0,问是否存在常数a,b,c,使得2x≤f(x)≤x2+1对一切实数x都成立?如果存在,求出它们的值；如果不存在,请说明理由
由于函数y=2x y=x^2+1的图像相切与(1,2)
故当x=1时,2≤f(1)≤2,故f(1)=2
又,f(-1)=0,得到方程组：
a-b+c=0
a+b+c=2
得到b=1,a+c=1
f(x)化成f(x)=ax^2+x+1-a （显然a>0）
f(x)>=2x恒成立,ax^2-x+1-a>=0恒成立,判别式=1-4a(1-a)≤0(*)
f(x)≤x2+1恒成立,(a-1)x^2+x-a≤0恒成立,
必须满足a-1
故当x=1时,2≤f(1)≤2,故f(1)=2
又,f(-1)=0,得到方程组：
a-b+c=0
a+b+c=2
得到b=1,a+c=1
f(x)化成f(x)=ax^2+x+1-a （显然a>0）
f(x)>=2x恒成立,ax^2-x+1-a>=0恒成立,判别式=1-4a(1-a)≤0(*)
f(x)≤x2+1恒成立,(a-1)x^2+x-a≤0恒成立,
必须满足a-1