离散数学的证明题,若f:A→B是双射,则f-1:B→A是双射

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/14 02:03:21

离散数学的证明题,若f:A→B是双射,则f-1:B→A是双射
若f:A→B是双射,则f-1:B→A是双射,要有证明过程,考试用的

设f={| a∈A∧b∈B∧f(a)=b},而f是双射,
那么有f-1={| ∈f},
由于f是满射,故对于每一个b∈B都有∈f,则必有∈f-1,而f-1的定义域为B
(这表示f-1定义域取遍整个集合B)
f是单射,故对于每一个b∈B,正好有一个a∈A使得∈f,因此对于每个b仅有一个a∈A使得∈f-1
(这表示f-1是一个单值映射)
所以f-1满足函数的2个必要条件,所以它是函数
又因为ran(f-1)=dom(f)=A,故f-1是满射,
下面证明f-1是单射,反证,假设b1≠b2时有f-1(b1)=f-1(b2)成立,那么不妨设
f-1(b1)=a1,f-1(b2)=a2,且a1=a2,那么有f(a1)=b1,f(a2)=b2,由于f是一个函数,满足单值条件,故当a1=a2时必有f(a1)=b1=f(a2)=b2,产生矛盾,所以f-1是单射,综上f-1:B→A是双射

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