已知函数f（x）在R上有定义，对任何实数a＞0和任何实数x，都有f（ax）=af（x）

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/06/16 04:09:50

已知函数f（x）在R上有定义，对任何实数a＞0和任何实数x，都有f（ax）=af（x）
（Ⅰ）证明f（0）=0；
（Ⅱ）证明f(x)＝

kx	x≥0
hx	x＜0

证明（Ⅰ）令x=0，则f（0）=af（0），
∵a＞0，
∴f（0）=0．
（Ⅱ）①令x=a，
∵a＞0，
∴x＞0，则f（x²）=xf（x）．
假设x≥0时，f（x）=kx（k∈R），则f（x²）=kx²，而xf（x）=x•kx=kx²，
∴f（x²）=xf（x），即f（x）=kx成立．
②令x=-a，
∵a＞0，
∴x＜0，f（-x²）=-xf（x）
假设x＜0时，f（x）=hx（h∈R），则f（-x²）=-hx²，而-xf（x）=-x•hx=-hx²，
∴f（-x²）=-xf（x），即f（x）=hx成立．
∴f(x)＝

kx，x≥0
hx，x＜0成立．
（Ⅲ）当x＞0时，g(x)＝
1
f(x)+f(x)＝
1
kx+kx，g′(x)＝−
1
kx2+k＝
k2x2−1
kx2
令g'（x）=0，得x=
1
k或x=-
1
k；
当x∈（0，
1
k）时，g'（x）＜0，∴g（x）是单调递减函数；
当x∈[
1
k，+∞）时，g'（x）＞0，∴g（x）是单调递增函数；
所以当x=
1
k时，函数g（x）在（0，+∞）内取得极小值，极小值为g(
1
k)＝2

已知函数f(x)在实数R上有定义,对任意实数a>0和任何实数x,都有f （ax)=af(x). 已知函数f（x）在R上有定义，对任何实数a＞0和任何实数x，都有f（ax）=af（x）已知函数在R上上有定义,对任意实数a>0和任意实数x都有f（ax）=af（x）对任何实数a大于0和任何实数x都有f(ax)=af(x),证明f(x)=kx（x大于等于0）或f(x)=hx（x小于0）已知函数f(x)在R上有定义,对任意实数a>0和任意实数x,都有f(ax)=af(x) 证明f(0)=0 已知函数f（x）在R上有定义，对任意实数a＞0和任意实数x，都有f（ax）=af（x），若f（1）=2，则函数y＝f(x 已知定义在R上的函数f（x）满足：对任意实数,都有f（ab）=af（b）+bf（a）成立（1）求f（1）和f（-1）已知函数f(x)=x^2+ax+b (1)若对任何的实数x,都有f（x）大于等于2x+a,求b的取值范围.（2）当x属于已知函数f(x)是定义在实数集R上的偶函数,且对任意实数x都有f(x+1)=2f(x)+1,则f(2012）的值是已知函数f（x）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf（x+1）=（x+1）f（x），则f(72) 已知f（x）是定义在R上的偶函数，且当x＞0时，f（x）=x−2x+1，若对任意实数t∈[12，2]，都有f（t+a）- 已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数,且对任意实数X都有Xf(X+1)=(1+X)f（X）则f（2.5）