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已知函数f(x)在R上有定义,对任何实数a>0和任何实数x,都有f(ax)=af(x)

来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/16 04:09:50
已知函数f(x)在R上有定义,对任何实数a>0和任何实数x,都有f(ax)=af(x)
(Ⅰ)证明f(0)=0;
(Ⅱ)证明f(x)=
kxx≥0
hxx<0
证明(Ⅰ)令x=0,则f(0)=af(0),
∵a>0,
∴f(0)=0.
(Ⅱ)①令x=a,
∵a>0,
∴x>0,则f(x2)=xf(x).
假设x≥0时,f(x)=kx(k∈R),则f(x2)=kx2,而xf(x)=x•kx=kx2
∴f(x2)=xf(x),即f(x)=kx成立.
②令x=-a,
∵a>0,
∴x<0,f(-x2)=-xf(x)
假设x<0时,f(x)=hx(h∈R),则f(-x2)=-hx2,而-xf(x)=-x•hx=-hx2
∴f(-x2)=-xf(x),即f(x)=hx成立.
∴f(x)=

kx,x≥0
hx,x<0成立.
(Ⅲ)当x>0时,g(x)=
1
f(x)+f(x)=
1
kx+kx,g′(x)=−
1
kx2+k=
k2x2−1
kx2
令g'(x)=0,得x=
1
k或x=-
1
k;
当x∈(0,
1
k)时,g'(x)<0,∴g(x)是单调递减函数;
当x∈[
1
k,+∞)时,g'(x)>0,∴g(x)是单调递增函数;
所以当x=
1
k时,函数g(x)在(0,+∞)内取得极小值,极小值为g(
1
k)=2