一个概率问题求期望值游戏中有一件武器,可以通过锻造进行升级.每次锻造成功的概率是1/2,如果成功则升一级,失败则降一级.

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/28 15:12:50

一个概率问题求期望值
游戏中有一件武器,可以通过锻造进行升级.每次锻造成功的概率是1/2,如果成功则升一级,失败则降一级.（如果锻造之前是1级,那么锻造失败后还是1级.）
想要将1级的武器锻造成3级,需要的锻造次数的期望值是多少?
如果从1级锻造成N级,需要的锻造次数期望值如何计算?有没有通用的解题思路?
我不想只要结果,

先看N=3的情况,设从k级出发,到3级结束,锻造次数的期望值为X(k),
由升级规则可知,
X(1) = 1 + (X(1) + X(2)) / 2;
X(2) = 1 + X(1) / 2;
解方程得 X(1) = 6, X(2) = 4.

对任意N>3, 有
X(1) = 1 + (X(1) + X(2)) / 2;
X(k) = 1 + (X(k-1) + X(k+1)) / 2; k = 2,3,...,N-2
X(N-1) = 1 + X(N-2)/2
解上面方程组：
X(1) - X(2) = 2
X(k) - X(k+1) = X(k-1) - X(k) + 2 = 2k; k = 2,3,...,N-2
X(N-1) = 2 + (X(N-2) - X(N-1)) = 2(N-1)
上面等式全加起来,得：
X(1) = 2 [1 + 2 +...+ (N-1)] = (N-1) * N
其它的X(k)也容易得到.
认真看下,不难!

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