（2014•淄博三模）对于定义在R上的函数f（x）图象连续不断，若存在常数a（a∈R），使得f（x+a）+af（x）=0

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：综合作业时间：2024/05/14 02:54:14

（2014•淄博三模）对于定义在R上的函数f（x）图象连续不断，若存在常数a（a∈R），使得f（x+a）+af（x）=0对任意的实数x成立，则称f （x）是阶数为a的回旋函数，现有下列4个命题：
①f（x）=x²必定不是回旋函数；
②若f（x）=sinωx（ω≠0）为回旋函数，则其最小正周期必不大于2；
③若指数函数为回旋函数，则其阶数必大于1；
④若对任意一个阶数为a（a≥0）的回旋函数f （x），方程f（x）=0均有实数根，其中为真命题的是______．

①若（x+a）²+ax²=0对任意实数都成立，令x=0，则必须有a=0
令x=1，则有a²+3a+1=0，显然a=0不是这个方程的解故假设不成立，该函数不是回旋函数，正确；
②由于f（x）=sinωx是回旋函数，故有：sinω（x+a）+asinωx=0对任意实数x成立
令x=0，可得sinωa=0，令x=
π
2，可得cosωa=-a，故a=±1，ω=kπ（k为整数），所以T=|
2
k|≤2，所以正确；
③若指数函数y=a^x为阶数为m回旋函数，则a^x+m+ma^x=0，∴a^m+m=0，∴m＜0，故不正确；
④如果a=0，显然f（x）=0，则显然有实根．下面考虑a≠0的情况．
若存在实根x₀，则f（x₀+a）+af（x₀）=0，即f（x₀+a）=0说明实根如果存在，那么加a也是实根．因此在区间（0，a）上必有一个实根．则：f（0）f（a）＜0，由于f（0+a）+af（0）=0，则f（0）=
−f(a)
a，只要a＞0，即可保证f（0）和f（a）异号．综上a≥0，即对任意一个阶数为a（a≥0）的回旋函数f （x），方程f（x）=0均有实数根，正确．
故答案为：①②④．

（2014•淄博三模）对于定义在R上的函数f（x）图象连续不断，若存在常数a（a∈R），使得f（x+a）+af（x）=0 若对于定义在R上的连续函数f（x），存在常数a（a∈R），使得f（x+a）+af（x）=0对任意的实数x成立，则称f（x 若对于定义在R上的连续函数f(x),存在常数a(a∈R),使得f(x+a)+af(x)=0对任意的实数（2013•德州二模）若对于定义在R上的函数f（x），存在常数t（t∈R），使得f（x+t）+tf（x）=0对任意实数x 定义在R上的函数f（x）及其导函数f′（x）的图象都是连续不断的曲线，且对于实数a，b（a＜b），有f'（a）＞0，f′ 已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=2x+x2，若存在正数a，b，使得当x∈[a，b]时，f 如果函数y=f（x）的定义域为R,对于定义域内的任意x,存在实数a使得f（x+a）已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数,且对于任意的a,b∈R都满足f（ab）=af（b）+bf（a） (1)求f（0 设f（x）在R上有定义,在x=0点连续,且f（x/a）=f（x）,其中a为小于1的常数,证明f（x）为常数函数. 已知函数f（x）是定义在R上的不恒为0的函数,且对于任意的a,b属于R都满足f（ab）=af（b）+bf（a） 1.对于定义在R上的函数f(x)满足：f(-x)=-f(x),f(x+d)＜f(x)（d＞0）,当不等式f(a)+f(a 已知定义在R上的函数f(x)=x^2(2ax-3）,其中a为常数.