在实数集R上定义运算：x⊗y=x（a-y）（a∈R，a为常数），若f（x）=ex，g（x）=e-x+2x2，F（x）=f

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/28 10:46:15

在实数集R上定义运算：x⊗y=x（a-y）（a∈R，a为常数），若f（x）=e^x，g（x）=e^-x+2x²，F（x）=f（x）⊗g（x），
（Ⅰ）求F（x）的解析式；
（Ⅱ）若F（x）在R上是减函数，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若a=-3，在F（x）的曲线上是否存在两点，使得过这两点的切线互相垂直？若存在，求出切线方程；若不存在，说明理由．

（I）由定义运算：x⊗y=x（a-y），得
F（x）=f（x）⊗g（x）
=f（x）⊗（a-g（x））
=e^x（a-e^-x-2x²）
=ae^x-1-2x²e^x；
（II）∵F′（x）=ae^x-2x²e^x-4xe^x=-e^x（2x²+4x-a），
又当x∈R时，F（x）在减函数，∴F′（x）≤0对于x∈R恒成立，
即-e^x（2x²+4x-a）≤0恒成立，
∵-e^x＜0，∴2x²+4x-a≥0恒成立，
∴△=16-8（-a）≤0，
∴a≤-2；
（III）当a=-3时，F（x）=-3e^x-1-2x²e^x，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）是F（x）曲线上的任意两点，
∵F′（x）=-e^x（2x²+4x+3）
=-e^x[2（x+1）²+1]＜0，
∴F′（x₁）•F′（x₂）＞0，
∴F′（x₁）•F′（x₂）=-1 不成立．
∴F（x）的曲线上不存的两点，使得过这两点的切线点互相垂直．

在实数集R上定义运算：x⊗y=x（a-y）（a∈R，a为常数），若f（x）=ex，g（x）=e-x+2x2，F（x）=f 在实数集R上定义运算：x☆y=x(a-y)(a为实常数).另f(x)=e的x次方,g(x)=e的-x次方+2x平方,F( 在实数R上定义运算#:X#Y=(X+A)*(1-Y),若f(x)=x^2,g(x)=x,F(X)=f(x)#(g(x). 已知函数f(x)=ln[e^x+a]（a为常数）是实数集R上的奇函数,讨论关于x的方程lnx/f(x)=x^2-2ex+ 已知定义在实数集R上的偶函数f(x)的最小值为3,且当x≥0时,f(x)=3e^x+a(a为常数）.求函数f（x）解析式已知定义在实数集R上的偶函数f(x)的最小值为3,且当x≥0时,f(x)=3e^x+a（a为常数）,求函数f(x)的解析设函数f（x）=x3+2ax2+bx+a,g（x）=x2-3x+2,其中x∈R,a、b为常数,已知曲线y=f（x）与y= 若对于定义在R上的连续函数f（x），存在常数a（a∈R），使得f（x+a）+af（x）=0对任意的实数x成立，则称f（x 已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=2x+x2，若存在正数a，b，使得当x∈[a，b]时，f 已知函数f（x），g（x）都定义在实数集R上，且满足f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，f（x）+g（x）=x2+x-2 设a为实数，函数f（x）=ex-2x+2a，x∈R．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=ex+a，若f（x）在R上是单调函数，则实数a的最小值是（