已知以原点为圆心的圆上任意一点的切线与椭圆恒有两个交点A、B,且AO垂直BO,求圆方程

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/29 18:33:01

已知以原点为圆心的圆上任意一点的切线与椭圆恒有两个交点A、B,且AO垂直BO,求圆方程
椭圆方程为mx^2y^2=1,其中m=1/4
我设切线方程为y=kx+b，把它带入椭圆方程中，得到一个二元方程，用维达定理得到x1+x2和x1*x2。再用y1*y2得到一个方程，y1y2=(kx1+b)(kx2+b),把x1x2、x1+x2带入，消去b^2*k^2得到b^2=8/5,后面就求不出k了,然后就不会算了,各位大哥帮帮小弟,感激不尽!可以发到本人邮箱:649617202@qq.com
我也得到了x1x2+y1y2=0，还有，有谁能给个比较详细的过程，
那个，椭圆方程为mx^2+y^2=1

设切线y=kx+b 圆:x^2+y^2=r^2
条件1:为圆的切线,用点到线距离公式:原点到y=kx+b距离=r得1式
条件2:与椭圆恒有两个交点A(x1,y1) 、B(x2,y2) ,且AO垂直BO
这是直线与二次曲线交点问题,最常见就是联立方程:y=kx+b mx^2+y^2=1
得一个含k,b的二次方程.
(1)恒有两个交点A、B 等价于判别式>0.2式
(2)AO垂直BO 用向量表示就是:x1x2+y1y2=0 y1y2=(kx1+b)(kx2+b)
用韦达定理可以将x1x2+y1y2=0 全部用k,b代进得到3式
这里先梳理下:1式含3个未知数:k,b,r 2式含两个未知k,b且是个不等式
3式是等式含:k,b
显然2式价值最低要求r先考虑联立1,3消去一个参数,不妨消去b
于是得4式:r和k之间一个关系
注意到这是个恒成立问题,对任意实数k,都成立
由此,可以得去r的具体数值
而2式还是有用的,把r代进,你会发现2式成立
再考虑斜率不存在
答完
这就求出并证明了题目

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