作业帮高数 定积分的应用 主要解释如何确定积分上下限.还有图像的问题.
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/28 15:39:33
高数 定积分的应用
主要解释如何确定积分上下限.
还有图像的问题.
主要解释如何确定积分上下限.
还有图像的问题.
根据直角坐标与极坐标的关系式：x=ρcosθ,y=ρsinθ,xx+yy=ρρ★
ρ=3cosθ就是ρρ=3ρcosθ,就是xx+yy=3x,配方就得圆（x-1.5）^2+yy=1.5*1.5.
同理,ρ=√2sinθ就是ρρ=√2ρsinθ,就是xx+yy=√2y,配方就得圆xx+（y-√2/2）^2=0.5.
ρ=1+cosθ是心形线（应该是光滑的对称的象心脏形状）
ρρ=cos2θ是伯努利双纽线（应该是光滑的对称的象两片树叶）
心形线ρ=1+ρcosθ与伯努利双纽线ρρ=cos2θ一般都会讲到,或者在书的附录上查看有没有,自学的话查看数学手册记下即可.
题1草图
解题1,根据对称性,只求上面的面积,再2倍即可.
上面的面积用绿线分成右左2部分来计算,为此,
先求出交点：联列2个极坐标方程,解得θ=∏/3,
所以,利用极坐标系下的面积公式,
上面的面积=右面积+左面积
=1/2∫（0到∏/3）（黑的心形线的1+cosθ）^2dθ
+1/2∫（∏/3到∏/2▲）（红的圆的3cosθ）^2dθ=.
题1的结果=5∏/4.
下面解释一下第二个积分上限为什么是∏/2▲：
这是圆上点ρ=0处的θ的坐标,故而在圆的方程中代入ρ=0来解θ【这是方法★★】：
解0=3cosθ,得θ=±∏/2,红线是圆的上半支,取θ=+∏/2.
题2草图
解题2,根据对称性,只求右面的面积,再2倍即可.
右面的面积用绿线分成=下上2部分来计算,为此,
先求出交点：将ρ=√2sinθ两边平方,与ρρ=cos2θ联列,解得θ=∏/6,
所以,利用极坐标系下的面积公式,
右面的面积=下面积+上面积
=1/2∫（0到∏/6）（红的圆的√2sinθ）^2dθ
+1/2∫（∏/6到∏/4▲▲）（黑的伯努利双纽线的cos2θ）dθ=.
题2的结果=0.5（1-√3）+∏/6.
其中▲▲处的积分上限∏/4同方法★★得到.
ρ=3cosθ就是ρρ=3ρcosθ,就是xx+yy=3x,配方就得圆（x-1.5）^2+yy=1.5*1.5.
同理,ρ=√2sinθ就是ρρ=√2ρsinθ,就是xx+yy=√2y,配方就得圆xx+（y-√2/2）^2=0.5.
ρ=1+cosθ是心形线（应该是光滑的对称的象心脏形状）
ρρ=cos2θ是伯努利双纽线（应该是光滑的对称的象两片树叶）
心形线ρ=1+ρcosθ与伯努利双纽线ρρ=cos2θ一般都会讲到,或者在书的附录上查看有没有,自学的话查看数学手册记下即可.
题1草图
解题1,根据对称性,只求上面的面积,再2倍即可.
上面的面积用绿线分成右左2部分来计算,为此,
先求出交点：联列2个极坐标方程,解得θ=∏/3,
所以,利用极坐标系下的面积公式,
上面的面积=右面积+左面积
=1/2∫（0到∏/3）（黑的心形线的1+cosθ）^2dθ
+1/2∫（∏/3到∏/2▲）（红的圆的3cosθ）^2dθ=.
题1的结果=5∏/4.
下面解释一下第二个积分上限为什么是∏/2▲：
这是圆上点ρ=0处的θ的坐标,故而在圆的方程中代入ρ=0来解θ【这是方法★★】：
解0=3cosθ,得θ=±∏/2,红线是圆的上半支,取θ=+∏/2.
题2草图
解题2,根据对称性,只求右面的面积,再2倍即可.
右面的面积用绿线分成=下上2部分来计算,为此,
先求出交点：将ρ=√2sinθ两边平方,与ρρ=cos2θ联列,解得θ=∏/6,
所以,利用极坐标系下的面积公式,
右面的面积=下面积+上面积
=1/2∫（0到∏/6）（红的圆的√2sinθ）^2dθ
+1/2∫（∏/6到∏/4▲▲）（黑的伯努利双纽线的cos2θ）dθ=.
题2的结果=0.5（1-√3）+∏/6.
其中▲▲处的积分上限∏/4同方法★★得到.