作业帮矩阵可对角化的充分必要条件是什么?
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/27 20:13:39
矩阵可对角化的充分必要条件是什么?
n阶矩阵可对角化的充分必要条件是有n个线性无关的特征向量.
此题A的特征值为1,1,-1
要求特征值为1时,对应的特征值矩阵的秩要等于2,（代数重数与几何重数相等）
再问： 是不是这样的：
A - E =
[ -2, -2, -2]
[ 0, 0, x]
[ 0, 0, 0]
所以只要x ≠ 0矩阵A就可对角化？
再答： 只要x =0矩阵A就可对角化。上面写错了，是特征值为1时，对应的特征值矩阵的秩要等于1.
再问： 还是没有完全弄懂，我不知道什么是代数重数，什么是几何重数？
那么特征值为2时，是否对应的特征值矩阵的秩要等于2呢？
再答： 这里特征值1的重数是2，则该特征值对应特征向量必须有2个线性无关的，即特征矩阵构成的齐次线性方程组的基础解系中所含解向量的个数为2个。
特征值1的重数是2，即代数重数，线性无关的特征向量为2个，即几何重数。
此题A的特征值为1,1,-1
要求特征值为1时,对应的特征值矩阵的秩要等于2,（代数重数与几何重数相等）
再问： 是不是这样的：
A - E =
[ -2, -2, -2]
[ 0, 0, x]
[ 0, 0, 0]
所以只要x ≠ 0矩阵A就可对角化？
再答： 只要x =0矩阵A就可对角化。上面写错了，是特征值为1时，对应的特征值矩阵的秩要等于1.
再问： 还是没有完全弄懂，我不知道什么是代数重数，什么是几何重数？
那么特征值为2时，是否对应的特征值矩阵的秩要等于2呢？
再答： 这里特征值1的重数是2，则该特征值对应特征向量必须有2个线性无关的，即特征矩阵构成的齐次线性方程组的基础解系中所含解向量的个数为2个。
特征值1的重数是2，即代数重数，线性无关的特征向量为2个，即几何重数。