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希望用弦长定理、点到直线距离求解   其它方法的绕行吧 希望用弦长定理、点到直线距离求解  

来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/30 01:06:48

希望用弦长定理、点到直线距离求解   其它方法的绕行吧 
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已知抛物线C：y²=2px的焦点坐标为F(1,0),过F的直线L交抛物线于A,B两点,直线AO,B0
分别与直线m:x=-2相交于M,N两点；(1)求抛物线方程；(2)证明△ABO与△MNO的面积之比为
定值.
(1).p/2=1,故p=2,于是得抛物线方程为y²=4x；
(2).设过焦点F(1,0)的直线L的方程为y=k(x-1)(设k>0)；代入抛物线方程得：
k²(x-1)²=4x,展开得k²x²-2(k²+2)x+k²=0.(1)
设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)；那么由维达定理得：
x₁+x₂=2(k²+2)/k²；x₁x₂=1；
y₁+y₂=k(x₁-1)+k(x₂-1)=k(x₁+x₂)-2k=2(k²+2)/k-2k=4/k；
y₁y₂=k²(x₁-1)(x₂-1)=k²[x₁x₂-(x₁+x₂)+1]=k²[2-2(k²+2)/k²]=2k²-2(k²+2)=-4；
故弦长∣AB∣=√{(1+k²)[(x₁+x₂)²-4x₁x₂]}=√{(1+k²)[4(k²+2)²/k⁴-4]}=4(1+k²)/k²
把直线L的方程改写成kx-y-k=0,则原点到L的距离h=∣-k∣/√(1+k²)=k/√(1+k²)
故△ABO的面积S₁=(1/2)∣AB∣h=(1/2)[4(1+k²)/k²][k/√(1+k²)]=(2/k)√(1+k²)
AO所在直线的方程为y=(y₁/x₁)x,令x=-2,得y=-2y₁/x₁,即M(-2,-2y₁/x₁)；
BO所在直线的方程为y=(y₂/x₂)x,令x=-2,得y=-2y₂/x₂,即N(-2,-2y₂/x₂)；
故∣MN∣=∣-2y₁/x₁+2y₂/x₂∣=2∣(y₂/x₂-y₁/x₁)∣=2∣(x₁y₂-x₂y₁)/(x₂x₁)∣
=2∣x₁y₂-x₂y₁∣【因为x₂x₁=1】=2∣(y²₁/4)y₂-(y²₂/4)y₁∣=(1/2)∣y₁(y₁y₂)-y₂(y₁y₂)∣
=(1/2)∣-4y₁+4y₂∣=2∣y₂-y₁∣=2√(y₁-y₂)²=2√[(y₁+y₂)²-4y₁y₂]=2√[16/k²+16]
=8√[(k²+1)/k²]=(8/k)√(k²+1)；
△MNO的面积S₂=(1/2)×2×∣MN∣=∣MN∣=(8/k)√(k²+1)
∴S₁/S₂=[(2/k)√(1+k²)]/[(8/k)√(k²+1)]=2/8=1/4=定值.故命题得证.
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