作业帮如何用一阶偏导数求出二阶偏导数?
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/09 04:15:30
如何用一阶偏导数求出二阶偏导数?
设u=f(x,y)有二阶连续偏导数,并且x=rcosθ,y=rsinθ,求∂2u/∂r2 我就是弄不懂二阶偏导数怎么求,究竟要怎么用一阶偏导数求出二阶偏导数呢?
设u=f(x,y)有二阶连续偏导数,并且x=rcosθ,y=rsinθ,求∂2u/∂r2 我就是弄不懂二阶偏导数怎么求,究竟要怎么用一阶偏导数求出二阶偏导数呢?
∂u/∂r = (∂u/∂x)(∂x/∂r) + (∂u/∂y)(∂y/∂r)
= (∂u/∂x)*cosθ + (∂u/∂y)*sinθ,
∂²u/∂r² = (∂/∂r)(∂u/∂r)
= (∂/∂r)[(∂u/∂x)*cosθ + (∂u/∂y)*sinθ]
= (∂/∂r)(∂u/∂x)*cosθ+ (∂/∂r)(∂u/∂y)*sinθ
= [(∂²u/∂x²)(∂x/∂r)+(∂²u/∂x∂y)(∂y/∂r)]*cosθ+ [(∂²u/∂y∂x)(∂x/∂r)+(∂²u/∂y²)(∂y/∂r)]*sinθ
= [(∂²u/∂x²)cosθ+(∂²u/∂x∂y)sinθ)]*cosθ+ [(∂²u/∂y∂x)cosθ+(∂²u/∂y²)sinθ]*sinθ
= ……
再问： 我想问这里：[(∂²u/∂x²)(∂x/∂r)+(∂²u/∂x∂y)(∂y/∂r)]
为什么一阶导数∂u/∂x在二阶导数里面∂u还能对∂y再求一次导呢？x和y不是互相独立的吗？
再答： 这里 ∂u/∂x 还是 x, y 的函数，当然还可以对 y 求导。
再问： 那么要怎么判断 ∂u/∂x 是不是 x, y 的函数呢？
再答： 不用判断，本来 ∂u/∂x 就还是 x, y 的函数的。
= (∂u/∂x)*cosθ + (∂u/∂y)*sinθ,
∂²u/∂r² = (∂/∂r)(∂u/∂r)
= (∂/∂r)[(∂u/∂x)*cosθ + (∂u/∂y)*sinθ]
= (∂/∂r)(∂u/∂x)*cosθ+ (∂/∂r)(∂u/∂y)*sinθ
= [(∂²u/∂x²)(∂x/∂r)+(∂²u/∂x∂y)(∂y/∂r)]*cosθ+ [(∂²u/∂y∂x)(∂x/∂r)+(∂²u/∂y²)(∂y/∂r)]*sinθ
= [(∂²u/∂x²)cosθ+(∂²u/∂x∂y)sinθ)]*cosθ+ [(∂²u/∂y∂x)cosθ+(∂²u/∂y²)sinθ]*sinθ
= ……
再问： 我想问这里：[(∂²u/∂x²)(∂x/∂r)+(∂²u/∂x∂y)(∂y/∂r)]
为什么一阶导数∂u/∂x在二阶导数里面∂u还能对∂y再求一次导呢？x和y不是互相独立的吗？
再答： 这里 ∂u/∂x 还是 x, y 的函数，当然还可以对 y 求导。
再问： 那么要怎么判断 ∂u/∂x 是不是 x, y 的函数呢？
再答： 不用判断，本来 ∂u/∂x 就还是 x, y 的函数的。