作业帮求三角函数的公式,什么正弦定理,余弦定理,倍角公式都要!
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/29 06:28:43
求三角函数的公式,什么正弦定理,余弦定理,倍角公式都要!
如右图,当平面上的三点A、B、C的连线,AB、AC、BC,构成一个直角三角形,其中∠ACB为直角.对于AB与AC的夹角∠BAC而言：
Rt△ABC
邻边（adjacent）b=AC
对边（opposite）a=BC
斜边（hypotenuse）h=AB
邻边（adjacent）b=AC
基本函数\x09英文\x09缩写\x09表达式\x09语言描述
正弦函数
Sine\x09sin\x09a/h\x09∠A的对边比斜边
余弦函数
Cosine\x09cos\x09b/h\x09∠A的邻边比斜边
正切函数
Tangent\x09tan\x09a/b\x09∠A的对边比邻边
余切函数
Cotangent\x09cot\x09b/a\x09∠A的邻边比对边
正割函数
Secant\x09sec\x09h/b\x09∠A的斜边比邻边
余割函数
Cosecant\x09csc\x09h/a\x09∠A的斜边比对边
注：tan、cot曾被写作tg、ctg,现已不用这种写法.
罕见三角函数
除了上述六个常见的函数,还有一些不常见的三角函数：
versin
函数名\x09与常见函数转化关系
正矢函数
versinθ=1-cosθ
\x09vercosinθ=1+cosθ
余矢函数
coversinθ=1-sinθ
\x09covercosinθ=1+sinθ
半正矢函数
haversinθ=(1-cosθ)/2
\x09havercosinθ=(1+cosθ)/2
半余矢函数
hacoversinθ=(1-sinθ)/2
\x09hacovercosinθ=(1+sinθ)/2
外正割函数
exsecθ=secθ-1
外余割函数
excscθ=cscθ-1
单位圆定义
六个三角函数也可以依据半径为1中心为原点的单位圆来定义.单位圆定义在实际计算上没有大的价值；实际上对多数角它都依赖于直角三角形.但是单位圆定义的确允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义,而不只是对于在 0 和 π/2 弧度之间的角.它也提供了一个图像,把所有重要的三角函数都包含了.根据勾股定理,
三角函数
单位圆的方程是：x^2+y^2=1
图像中给出了用弧度度量的一些常见的角.逆时针方向的度量是正角,而顺时针的度量是负角.设一个过原点的线,同 x 轴正半部分得到一个角 θ,并与单位圆相交.这个交点的 x 和 y 坐标分别等于cosθ和sinθ.图像中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边且长度为1,所以有 sinθ = y/1 和 cosθ = x/1.单位圆可以被视为是通过改变邻边和对边的长度,但保持斜边等于 1的一种查看无限个三角形的方式.
对于大于 2π 或小于等于2π 的角度,可直接继续绕单位圆旋转.在这种方式下,正弦和余弦变成了周期为 2π的周期函数：对于任何角度 θ 和任何整数 k.
周期函数的最小正周期叫做这个函数的“基本周期”.正弦、余弦、正割或余割的基本周期是全圆,也就是 2π 弧度或 360°；正切或余切的基本周期是半圆,也就是 π 弧度或 180°.上面只有正弦和余弦是直接使用单位圆定义的,其他四个三角函数的定义如图所示.
其他四个三角函数的定义
在正切函数的图像中,在角 kπ 附近变化缓慢,而在接近角 (k + 1/2)π 的时候变化迅速.正切函数的图像在 θ = (k + 1/2)π 有垂直渐近线.这是因为在 θ 从左侧接进 (k + 1/2)π 的时候函数接近正无穷,而从右侧接近 (k + 1/2)π 的时候函数接近负无穷．
三角函数
另一方面,所有基本三角函数都可依据中心为 O 的单位圆来定
义,类似于历史上使用的几何定义.特别 是,对于这个圆的弦 AB,这里的 θ 是对向角的一半,sin θ 是 AC（半弦）,这是印度的阿耶波多介入的定义.cosθ 是水平距离 OC,versin θ =1-cosθ 是CD.tanθ是通过 A 的切线的线段 AE 的长度,所以这个函数才叫正切.cotθ 是另一个切线段 AF. secθ =OE 和 cscθ =OF 是割线（与圆相交于两点）的线段,所以可以看作 OA 沿着 A 的切线分别向水平和垂直轴的投影.DE 是 exsecθ = secθ-1（正割在圆外的部分）.通过这些构造,容易看出正割和正切函数在 θ 接近 π/2的时候发散,而余割和余切在 θ 接近零的时候发散.
编辑本段级数定义
只使用几何和极限的性质,可以证明正弦的导数是余弦,余弦的导数是负的正弦.（在微积分中,所有角度都以弧度来度量）.我们可以接着使用泰勒级数的理论来证明下列恒等式对于所有实数 x 都成立：
这些恒等式经常被用做正弦和余弦函数的定义.它们经常被用做三角函数的严格处理和应用的起点（比如,在傅立叶级数中）,因为无穷级数的理论可从实数系的基础上发展而来,不需要任何几何方面的考虑.这样,这些函数的可微性和连续性便可以单独从级数定义来确立.
其他级数可见于：
注：Un是n次上/下数,
Bn是n次伯努利数,
编辑本段三角函数线
依据单位圆定义,
我们可以做三个有向线段（向量）来表示正弦、余弦、正切的值.
如图所示,圆O是一个单位圆,P是α的终边与单位圆上的交点,M点是P在x轴的投影,S(1,0)是圆O与x轴正半轴的交点,过S点做圆O的切线l.
那么向量MP对应的就是α的正弦值,向量OM对应的就是余弦值.OP的延长线（或反向延长线）与l的交点为T,则向量ST对应的就是正切值.向量的起止点不能颠倒,因为其方向是有意义的.
借助线三角函数线,我们可以观察到第二象限角α的正弦值为正,余弦值为负,正切值为负.
1．锐角三角函数定义
锐角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,余切（cot）以及正割（sec）,（余割csc）都叫做角A的锐角三角函数.
正弦（sin）等于对边比斜边；
余弦（cos）等于邻边比斜边；
正切（tan）等于对边比邻边；
余切（cot）等于邻边比对边；
正割（sec)等于斜边比邻边；
余割 (csc)等于斜边比对边.
2．互余角的三角函数关系
sin(90°-α)=cosα, cos(90°-α)=sinα,
tan(90°-α)=cotα, cot(90°-α)=tanα.
3．同角三角函数间的关系
商数关系：
sinA/cosA=tanA
•平方关系：
sin^2(A)+cos^2(A)=1
•积的关系：
sinA=tanA•cosA
cosA=cotA•sinA
cotA=cosA•cscA
tanA•cotA=1
•倒数关系：
直角三角形ABC中,
角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,
余弦等于角A的邻边比斜边
正切等于对边比邻边,
余切等于邻边比对边
4.三角函数值
（1）特殊角三角函数值
（2）0°～90°的任意角的三角函数值,查三角函数表.
（3）锐角三角函数值的变化情况
（i）锐角三角函数值都是正值
（ii）当角度在0°～90°间变化时,
正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）
正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）
（iii）当角度在0°≤∠A≤90°间变化时,
0≤sinα≤1, 1≥cosA≥0,
当角度在0°0.
特殊的三角函数值
A \x090°\x0930°\x0945°\x0960°\x0990°
sinA\x090\x091/2\x09√2/2\x09√3/2\x091
cosA\x091\x09√3/2\x09√2/2\x091/2\x090
tanA\x090\x09√3/3\x091\x09√3\x09None
cotA\x09None\x09√3\x091\x09√3/3\x090
“锐角三角函数”属于三角学,是《数学课程标准》中“空间与图形”领域的重要内容.从《数学课程标准》看,中学数学把三角学内容分成两个部分,第一部分放在义务教育第三学段,第二部分放在高中阶段.在义务教育第三学段,主要研究锐角三角函数和解直角三角形的内容,本套教科书安排了一章的内容,就是本章“锐角三角函数”.在高中阶段的三角内容是三角学的主体部分,包括解斜三角形、三角函数、反三角函数和简单的三角方程.无论是从内容上看,还是从思考问题的方法上看,前一部分都是后一部分的重要基础,掌握锐角三角函数的概念和解直角三角形的方法,是学习三角函数和解斜三角形的重要准备.
Rt△ABC
邻边（adjacent）b=AC
对边（opposite）a=BC
斜边（hypotenuse）h=AB
邻边（adjacent）b=AC
基本函数\x09英文\x09缩写\x09表达式\x09语言描述
正弦函数
Sine\x09sin\x09a/h\x09∠A的对边比斜边
余弦函数
Cosine\x09cos\x09b/h\x09∠A的邻边比斜边
正切函数
Tangent\x09tan\x09a/b\x09∠A的对边比邻边
余切函数
Cotangent\x09cot\x09b/a\x09∠A的邻边比对边
正割函数
Secant\x09sec\x09h/b\x09∠A的斜边比邻边
余割函数
Cosecant\x09csc\x09h/a\x09∠A的斜边比对边
注：tan、cot曾被写作tg、ctg,现已不用这种写法.
罕见三角函数
除了上述六个常见的函数,还有一些不常见的三角函数：
versin
函数名\x09与常见函数转化关系
正矢函数
versinθ=1-cosθ
\x09vercosinθ=1+cosθ
余矢函数
coversinθ=1-sinθ
\x09covercosinθ=1+sinθ
半正矢函数
haversinθ=(1-cosθ)/2
\x09havercosinθ=(1+cosθ)/2
半余矢函数
hacoversinθ=(1-sinθ)/2
\x09hacovercosinθ=(1+sinθ)/2
外正割函数
exsecθ=secθ-1
外余割函数
excscθ=cscθ-1
单位圆定义
六个三角函数也可以依据半径为1中心为原点的单位圆来定义.单位圆定义在实际计算上没有大的价值；实际上对多数角它都依赖于直角三角形.但是单位圆定义的确允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义,而不只是对于在 0 和 π/2 弧度之间的角.它也提供了一个图像,把所有重要的三角函数都包含了.根据勾股定理,
三角函数
单位圆的方程是：x^2+y^2=1
图像中给出了用弧度度量的一些常见的角.逆时针方向的度量是正角,而顺时针的度量是负角.设一个过原点的线,同 x 轴正半部分得到一个角 θ,并与单位圆相交.这个交点的 x 和 y 坐标分别等于cosθ和sinθ.图像中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边且长度为1,所以有 sinθ = y/1 和 cosθ = x/1.单位圆可以被视为是通过改变邻边和对边的长度,但保持斜边等于 1的一种查看无限个三角形的方式.
对于大于 2π 或小于等于2π 的角度,可直接继续绕单位圆旋转.在这种方式下,正弦和余弦变成了周期为 2π的周期函数：对于任何角度 θ 和任何整数 k.
周期函数的最小正周期叫做这个函数的“基本周期”.正弦、余弦、正割或余割的基本周期是全圆,也就是 2π 弧度或 360°；正切或余切的基本周期是半圆,也就是 π 弧度或 180°.上面只有正弦和余弦是直接使用单位圆定义的,其他四个三角函数的定义如图所示.
其他四个三角函数的定义
在正切函数的图像中,在角 kπ 附近变化缓慢,而在接近角 (k + 1/2)π 的时候变化迅速.正切函数的图像在 θ = (k + 1/2)π 有垂直渐近线.这是因为在 θ 从左侧接进 (k + 1/2)π 的时候函数接近正无穷,而从右侧接近 (k + 1/2)π 的时候函数接近负无穷．
三角函数
另一方面,所有基本三角函数都可依据中心为 O 的单位圆来定
义,类似于历史上使用的几何定义.特别 是,对于这个圆的弦 AB,这里的 θ 是对向角的一半,sin θ 是 AC（半弦）,这是印度的阿耶波多介入的定义.cosθ 是水平距离 OC,versin θ =1-cosθ 是CD.tanθ是通过 A 的切线的线段 AE 的长度,所以这个函数才叫正切.cotθ 是另一个切线段 AF. secθ =OE 和 cscθ =OF 是割线（与圆相交于两点）的线段,所以可以看作 OA 沿着 A 的切线分别向水平和垂直轴的投影.DE 是 exsecθ = secθ-1（正割在圆外的部分）.通过这些构造,容易看出正割和正切函数在 θ 接近 π/2的时候发散,而余割和余切在 θ 接近零的时候发散.
编辑本段级数定义
只使用几何和极限的性质,可以证明正弦的导数是余弦,余弦的导数是负的正弦.（在微积分中,所有角度都以弧度来度量）.我们可以接着使用泰勒级数的理论来证明下列恒等式对于所有实数 x 都成立：
这些恒等式经常被用做正弦和余弦函数的定义.它们经常被用做三角函数的严格处理和应用的起点（比如,在傅立叶级数中）,因为无穷级数的理论可从实数系的基础上发展而来,不需要任何几何方面的考虑.这样,这些函数的可微性和连续性便可以单独从级数定义来确立.
其他级数可见于：
注：Un是n次上/下数,
Bn是n次伯努利数,
编辑本段三角函数线
依据单位圆定义,
我们可以做三个有向线段（向量）来表示正弦、余弦、正切的值.
如图所示,圆O是一个单位圆,P是α的终边与单位圆上的交点,M点是P在x轴的投影,S(1,0)是圆O与x轴正半轴的交点,过S点做圆O的切线l.
那么向量MP对应的就是α的正弦值,向量OM对应的就是余弦值.OP的延长线（或反向延长线）与l的交点为T,则向量ST对应的就是正切值.向量的起止点不能颠倒,因为其方向是有意义的.
借助线三角函数线,我们可以观察到第二象限角α的正弦值为正,余弦值为负,正切值为负.
1．锐角三角函数定义
锐角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,余切（cot）以及正割（sec）,（余割csc）都叫做角A的锐角三角函数.
正弦（sin）等于对边比斜边；
余弦（cos）等于邻边比斜边；
正切（tan）等于对边比邻边；
余切（cot）等于邻边比对边；
正割（sec)等于斜边比邻边；
余割 (csc)等于斜边比对边.
2．互余角的三角函数关系
sin(90°-α)=cosα, cos(90°-α)=sinα,
tan(90°-α)=cotα, cot(90°-α)=tanα.
3．同角三角函数间的关系
商数关系：
sinA/cosA=tanA
•平方关系：
sin^2(A)+cos^2(A)=1
•积的关系：
sinA=tanA•cosA
cosA=cotA•sinA
cotA=cosA•cscA
tanA•cotA=1
•倒数关系：
直角三角形ABC中,
角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,
余弦等于角A的邻边比斜边
正切等于对边比邻边,
余切等于邻边比对边
4.三角函数值
（1）特殊角三角函数值
（2）0°～90°的任意角的三角函数值,查三角函数表.
（3）锐角三角函数值的变化情况
（i）锐角三角函数值都是正值
（ii）当角度在0°～90°间变化时,
正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）
正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）
（iii）当角度在0°≤∠A≤90°间变化时,
0≤sinα≤1, 1≥cosA≥0,
当角度在0°0.
特殊的三角函数值
A \x090°\x0930°\x0945°\x0960°\x0990°
sinA\x090\x091/2\x09√2/2\x09√3/2\x091
cosA\x091\x09√3/2\x09√2/2\x091/2\x090
tanA\x090\x09√3/3\x091\x09√3\x09None
cotA\x09None\x09√3\x091\x09√3/3\x090
“锐角三角函数”属于三角学,是《数学课程标准》中“空间与图形”领域的重要内容.从《数学课程标准》看,中学数学把三角学内容分成两个部分,第一部分放在义务教育第三学段,第二部分放在高中阶段.在义务教育第三学段,主要研究锐角三角函数和解直角三角形的内容,本套教科书安排了一章的内容,就是本章“锐角三角函数”.在高中阶段的三角内容是三角学的主体部分,包括解斜三角形、三角函数、反三角函数和简单的三角方程.无论是从内容上看,还是从思考问题的方法上看,前一部分都是后一部分的重要基础,掌握锐角三角函数的概念和解直角三角形的方法,是学习三角函数和解斜三角形的重要准备.