高一数学向量与三角函数综合题（求过程,感激不尽）

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/30 13:49:46

高一数学向量与三角函数综合题（求过程,感激不尽）
已知向量m=(1,1),向量n与向量m的夹角为3π/4,且向量m·向量n=-1
（1）设求向量n
（2）向量a=(1,0),向量b=[cos2x,2cos^2(π/3-x)],若向量n·向量a=0,试求|向量n+向量b|的取值范围

（1）设向量n=(x,y) (以下过程,提及m,n等均省略“向量”二字)
∵m,n夹角为3π/4,∴cos = m*n/(|m|*|n|) = (x+y)/[√2 * √(x^2+y^2)] = - √2/2
将此式化解则可得：xy = 0 ① (x,y必有其一为0)
又已知mn = -1,即x + y = -1 ②
由①、②两式联立求解得：n = (0,-1)或n = (-1,0)
（2）若 a = (1,0),na = 0,则由已求得值,n = (0,-1)或n = (-1,0)可得,此时n = (0,-1)
b = [cos2x,2cos^2(π/3-x)]= [cos2x,1+cos2(π/3-x)] 余弦二倍角,降幂
所以,n+b = 0,-1) + [cos2x,1+cos2(π/3-x)]= [cos2x,cos2(π/3-x)] 向量坐标相加
所以,|n+b| =√{(cos2x)^2 + [cos2(π/3-x)]^2} 向量求模公式
=√{(1+cos4x)/2 + [1+cos4(π/3-x)]/2} 余弦二倍角,降幂
=√[1+ 1/2 cos4x + 1/2 cos4(π/3-x)] 合并同类项
=√[1+ 1/2 (1/2cos4x –√3/2 sin4x)] 余弦两角和展开,并合并同类项
=√[1 + 1/2 cos(4x+π/3)] 三角函数辅助角公式
因为-1/2≤1/2 cos(4x+π/3) ≤1/2,三角函数值域
所以1/2≤1 + 1/2 cos(4x+π/3) 1≤3/2 不等式的基本性质
则,√2/2≤|n+b|≤√6/2
望能帮助读者释疑!

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