作业帮高等数学中等价无穷小的问题
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/29 01:42:24
高等数学中等价无穷小的问题
求当x→0时,(tanx-sinx)/(sinx)3的极限是多少?
根据等价无穷小的结论,当x→0时tanx=x,sinx=x.因此上式可以转化为(x-x)/x3,结果是0.
但是本人将式子进行转换,tanx-sinx=sinx(1-cosx)/cosx；(sinx)3=sinx(sinx)2.将两式同时除以sinx,（显然sinx≠0）,可以得(1-cosx)/cosx[1-(cosx)2],这里1-（cosx)2可以分解为（1+cosx)(1-cosx).由于x→0所以,cosx≠1.因此上式可以同时约掉1-cosx；最后式子就成了1/cosx(1+cosx).最后的结果居然是1/2!
怎么会出现这样的情况?到底是等价无穷小错了还是我后面的推算有问题?
求当x→0时,(tanx-sinx)/(sinx)3的极限是多少?
根据等价无穷小的结论,当x→0时tanx=x,sinx=x.因此上式可以转化为(x-x)/x3,结果是0.
但是本人将式子进行转换,tanx-sinx=sinx(1-cosx)/cosx；(sinx)3=sinx(sinx)2.将两式同时除以sinx,（显然sinx≠0）,可以得(1-cosx)/cosx[1-(cosx)2],这里1-（cosx)2可以分解为（1+cosx)(1-cosx).由于x→0所以,cosx≠1.因此上式可以同时约掉1-cosx；最后式子就成了1/cosx(1+cosx).最后的结果居然是1/2!
怎么会出现这样的情况?到底是等价无穷小错了还是我后面的推算有问题?
注意 x→0的时候不是tanx=x 而是趋于x 这个和等号有本质的不同
你把tanx和sinx都做taylor展开就看清楚了 虽然他们都与x同阶 但是高阶部分不同 两者相减去掉了高阶的部分还剩下三阶的x
你把tanx和sinx都做taylor展开就看清楚了 虽然他们都与x同阶 但是高阶部分不同 两者相减去掉了高阶的部分还剩下三阶的x