问三角函数和差化积公式

问三角函数和差化积公式

二倍角的正弦、余弦、正切公式,都是和角的正弦、余弦、正切公式当α=β时的特殊情形,要深刻理解和掌握它们的应用,须注意以下几点：
一要把握它们的结构特征,如sin2α与cos2α都具升幂功能,同时其变形后又具因式分解的功能.二要注意倍角的相对性,如2α是α的倍角,而α又是 的倍角.三是角余切、正割、余割的倍角公式都是利用同角三角函数关系式转化处理.四要注意sin2α的变形cosα= 在求积时的应用.
【命题趋势分析】
本节内容是本章的重中之重,其灵活性,综合性都比前面知识上了一个台阶,高考命题更是经常以解答题的形式进行考查,试题难度一般为中等程度.
核心知识
【基础知识精讲】
1.本节知识结构图


2.在和角公式Sα+β,Cα+β,Tα+β中,令α=β,就可以得出对应的二倍角的三角函数公式：
sin2α=2sinαcosα(S2α)
cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α,(C2α)
tan2α= .(T2α)

3.公式S2α,C2α中,角α可以为任意角.但公式T2α,只有当α≠ +kπ及α≠ + (k∈Z)时,才成立；否则不成立.
4.要注意公式的灵活变形,能引出诸如：sin2 = ,cos2 = ,tan = = ,sinα•cosβ= 〔sin(α+β)+sin(α-β)〕,sinθ+sinφ=2sin cos 等公式.但这些公式不要求记忆.
特别指出的恒等式：
升幂公式：1+cosα=2cos2
1-cosα=2sin2
降幂公式：cos2α= (1+cos2α)
sin2α= (1-cos2α)
三倍角公式： sin3α=3sinα-4sin3α
cos3α=4cos3α-3cosα
典型例题
例1 (1)化简 +
(2)设α∈( π,2π),化简 .
分析：①利用倍角公式将1+sin8,2+2cos8配方,同时要注意三角函数值在各象限中的符号,去掉根号.
②连续运用公式1+cos2α=2cos2a,同时注意到cosα,cos 的符号,便可脱去根号.
(1)原式=2 +
=2｜sin4+cos4｜+2｜cos4｜
∵4∈(π, π)
∴sin4+cos4＜0,cos4＜0
故原式 =-2(sin4+cos4)-2cos4
=2sin4-4cos4
(2)∵α∈( π,2π)
∴cosα＞0,cos ＜0
故原式=
=
=
=｜cos ｜=-cos
评析 要注意二倍角的余弦公式的各种变形,例如：1+cos2α=2cos2α,1-cos2α=2sin2α,cos2α= ,sin2α= 等.

例2 化简

分析1：用乘法公式将分子展开后再进一步化简.
解法一：原式
=
=
=
= =
=tan

分析2：利用(sinx+cosx)2=1+sin2x将分母变形、并与分子约去公因式后再进一步化简.
解法二：原式=
=
=
=
= =tan

分析3：注意到原式可化为关于sinx,cosx的三角函数式,若令tan =t,应用万能换公式可将原式化为关于t的有理式后再进行化简.注意最后仍需将t化回为角x的三函数式.
解法三：令tan =t,那么sinx= ,cosx=
∴原式=
=
=t
=tan


例3 求cos224°+sin26°+cos218°的值.
cos224°+sin26°+cos218°= + (cos48°-cos12°+cos36°)
= + (-2sin30°sin18°+cos36°)
= + (sin54°-sin18°)
= +cos36°sin18°
= +
= +
= + =
评析：降幂、化积是三角函数恒等变形的基本方法之一.


例4 已知sin( -x)= ,x∈(0, ),求cos2x的值.
∵0＜x＜ ,∴0＜ -x＜ .∴cos( -x)＞0
又sin( -x)= ,∴cos( -x)= .
∴cos2x=sin( -2x)=2sin( -x)cos( -x)
=2× × =
说明：根据需要,在求值或变形过程中,有必要把所给的角用其他角代换.


例5 求函数y=(1+sinx)(1+cosx)的最大值和最小值.
y=(1+sinx)(1+cosx)
=1+sinx+cosx+sinxcos
设t=sinx+cosx,则t= sin(x+ )
∴｜t｜≤
由(sinx+cosx)2=sin2x+2sinxcosx+cos2x,
∴t2=1+2sinxcosx,∴sinxcosx=
∴y=1+t+ = (t2+2t+1)= (t+1)2
(1)当(1)t=-1时,y最小值=0
(2)当(1)t= 时,y最大值= ( +1)2= +
说明：sinx±cosx与sinxcosx有密切联系,可以互相转换,可以说解题离不开转换,所以应掌握常用的转换方法,可把多元问题转化为一元问题来解.
【课本难题解答】
课本第47页,习题4.7第4题：
(左边)2=(x +y )2=x+y+2
由已知二等式可解得x= (3-cos4θ+4sin2θ),y= (3-cos4θ-4sin2θ)
∴(左边)2=3-cos4θ+2
=3-cos4θ+
=3-cos4θ+
=3-cos4θ+
=3-cos4θ+
=3-cos4θ+1+cos4θ=4=(右边)2
∴原式成立.