作业帮高中数学学习中的一点疑惑
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/27 10:13:29
高中数学学习中的一点疑惑
在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆（x/2)²+y²=1和一个动圆（x+2）²+y²=r²（r＞0）.我的困惑如下：
显然动圆是以椭圆左顶点为圆心的半径不断变化的圆,要使圆与椭圆有两个交点,从数形结合上来看0＜r＜4,且两交点横坐标相等,纵坐标互为相反数.现在联立两个曲线的方程消去y,可以得到（3x²/4）+4x+5-r²=0,从方程来看Δ=1+3r²＞0恒成立,根本算不出r的范围,而且就我知道的来说,方程应该有两个相等的实根Δ=0才对,这样又解不出确定的实数r,那么代数和几何上的关系不符合,这是怎么回事?
在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆（x/2)²+y²=1和一个动圆（x+2）²+y²=r²（r＞0）.我的困惑如下：
显然动圆是以椭圆左顶点为圆心的半径不断变化的圆,要使圆与椭圆有两个交点,从数形结合上来看0＜r＜4,且两交点横坐标相等,纵坐标互为相反数.现在联立两个曲线的方程消去y,可以得到（3x²/4）+4x+5-r²=0,从方程来看Δ=1+3r²＞0恒成立,根本算不出r的范围,而且就我知道的来说,方程应该有两个相等的实根Δ=0才对,这样又解不出确定的实数r,那么代数和几何上的关系不符合,这是怎么回事?
应该是这个地方有蹊跷,你算出来（3x²/4）+4x+5-r²=0,从方程来看Δ=1+3r²＞0恒成立,你把这个当成二次函数来解,当然方法没问题,但是忽略了一个问题,那就是函数的定义域.你可能没注意这个问题习惯性的当做R来上.但是,事实上这题的x的定义域为-2,2. 所以,并不是方程始终有解.
所以问题应该是（3x²/4）+4x+5-r²=0,在[-2,2]上有解,求r的范围.这时Δ=1+3r²＞=0只是个必要条件,但还不够.不知道这种解释满意么?
再问： 说实话原来的题目不是为了去求r的范围，而是求交点的坐标与r的关系，但明显方程有解，这个解先不管是否在定义域上，那它在坐标系中的意义是什么啊，而且我要求横坐标应该两根相等啊
再答： 不太明白你说的什么意思，我只是解释你说的，代数和几何上的关系不符合是怎么回事
再问： 我好像已经明白了，实际上两个曲线联立有4组解，这里的两个x的解一个对应正负两组实数y，几何上表现为实际的两个交点，另外一个不在定义域内的x对应两组虚数y，实数几何坐标内没有意义因此要舍去，所以方程的一个解是交点的横坐标对应两个互为相反数的y，另外的一个实数x对应两个共轭的虚数y
再答： 明白你说的什么意思了，厉害，能联想到虚数，赞
所以问题应该是（3x²/4）+4x+5-r²=0,在[-2,2]上有解,求r的范围.这时Δ=1+3r²＞=0只是个必要条件,但还不够.不知道这种解释满意么?
再问： 说实话原来的题目不是为了去求r的范围，而是求交点的坐标与r的关系，但明显方程有解，这个解先不管是否在定义域上，那它在坐标系中的意义是什么啊，而且我要求横坐标应该两根相等啊
再答： 不太明白你说的什么意思，我只是解释你说的，代数和几何上的关系不符合是怎么回事
再问： 我好像已经明白了，实际上两个曲线联立有4组解，这里的两个x的解一个对应正负两组实数y，几何上表现为实际的两个交点，另外一个不在定义域内的x对应两组虚数y，实数几何坐标内没有意义因此要舍去，所以方程的一个解是交点的横坐标对应两个互为相反数的y，另外的一个实数x对应两个共轭的虚数y
再答： 明白你说的什么意思了，厉害，能联想到虚数，赞