已知α+β=1，αβ=-1．设S1=α+β，S2=α2+β2，S3=α3+β3，…，Sn=αn+βn

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/30 05:00:07

已知α+β=1，αβ=-1．设S₁=α+β，S₂=α²+β²，S₃=α³+β³，…，S_n=αⁿ+βⁿ
（1）计算：S₁=______，S₂=______，S₃=______，S₄=______；
（2）试写出S_n-2、S_n-1、S_n三者之间的关系；
（3）根据以上得出结论计算：α⁷+β⁷．

（1）∵α+β=1，αβ=-1．
∴S₁=α+β=1．
S₂=α²+β²=（α+β）²-2αβ=1+2=3．
S₃=α³+β³=（α+β）（α²-αβ+β²）=（α+β）²-3αβ=1+3=4．
S₄=α⁴+β⁴=（α²+β²）²-2α²β²=9-2=7．
故答案为：1，3，4，7；
（2）由（1）得：S_n=S_n-1+S_n-2．
证明：∵α，β是方程x²-x-1=0的两根，
∴有：α²=α+1，β²=β+1，
S_n-1+S_n-2=α^n-1+β^n-1+α^n-2+β^n-2
=
αn
α+
αn
α2+
βn
β+
βn
β2
=
αn(1+α)
α2+
βn(1+β)
β2
=αⁿ+βⁿ
=S_n．
故S_n=S_n-1+S_n-2．
（3）由（2）有：
α⁷+β⁷=S₇
=S₆+S₅
=S₅+S₄+S₄+S₃
=S₄+S₃+2S₄+S₃
=3S₄+2S₃
=3×7+2×4
=29．

已知α+β=1，αβ=-1．设S1=α+β，S2=α2+β2，S3=α3+β3，…，Sn=αn+βn 已知Sn=1/2n(n+1),Tn=S1+S2+S3+.+Sn,求Tn. 已知s1=1,s2=1+2,s3=1+2+3,.sn=1+2+3+.+n,求Dn=s1+s2+s3,.sn 高中数学数列证明已知Sn=2^n-1证明：n/2 - 1/3 < S1/S2 + S2/S3 +.+ Sn/Sn+1 < sn=n^2 求证1/s1+1/s2+1/s3……1/sn 已知α+β=1,αβ=-1,设S1=α+β,S2=α²+β²,S3=α³+β³… An=2n-1,求证1/s1+1/s2+1/s3+…+1/sn 已知数列an的前项和为Sn,a1=1,nSn+1-(n+1)Sn=n^2+cn,S1,S2/2,S3/3成等差数列.(1 S1+S2+S3+……+S2008=?Sn=1/2×【(1-n/n)+(n/n+1)】 S1=4/1,S2=7/12,S Sn=n^2+2n 求1/S1+1/S2+1/S3+……+1/Sn an=3n,Sn为前n项和,求1/S1+1/S2+1/S3+…+1/Sn. 设Sn=1*2/1+2*3/1+3*4/1+.n*(n+1)/1,写出S1,S2,S3,S4的值,归纳并猜想出结果