作业帮统计学证明:E(s^2)=σ^2
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/30 19:23:44
统计学证明:E(s^2)=σ^2
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再问： 不好意思，感觉你的证明省略了好多，从第一步到第二步，和第二步到第三步也太快了，不好理解
再答： 第一个等号是s^2的定义 第二个等号中括号里第一项是用了下图的公式，而这个公式可以这么理无论i是多少，E(Xi^2)都是一样的，因为那个是预计的值，X1,X2,...Xn的E(X)都一样，所以它们的和可以写成n*E(Xi^2) 第二个等号中第二项是E(X)的定义。 然后第三个等号用了Var(X)=E[X^2]-(E[X])^2 {下面暂时用Z代替一下X上面加一横} Var(X)=sigma^2，E[x]=mu^2，所以E[X^2]=sigma^2+mu^2 Var(Z)=sigma^2/n，那是因为： Var(Z)=Var[(X1+X2+...+Xn)/n]=Var[(1/n)X1]+Var[(1/n)X2]+...+Var[(1/n)Xn]=1/(n^2)Var(X1)+1/(n^2)Var(X2)+...+1/(n^2)Var(Xn)=1/(n^2)(sigma^2+...+sigma^2)=1/(n^2)(n*sigma^2)=sigma^2/n 所以E[Z^2]=sigma^2/n+mu^2 最后一步纯粹是运算
再问： 不好意思，感觉你的证明省略了好多，从第一步到第二步，和第二步到第三步也太快了，不好理解
再答： 第一个等号是s^2的定义 第二个等号中括号里第一项是用了下图的公式，而这个公式可以这么理无论i是多少，E(Xi^2)都是一样的，因为那个是预计的值，X1,X2,...Xn的E(X)都一样，所以它们的和可以写成n*E(Xi^2) 第二个等号中第二项是E(X)的定义。 然后第三个等号用了Var(X)=E[X^2]-(E[X])^2 {下面暂时用Z代替一下X上面加一横} Var(X)=sigma^2，E[x]=mu^2，所以E[X^2]=sigma^2+mu^2 Var(Z)=sigma^2/n，那是因为： Var(Z)=Var[(X1+X2+...+Xn)/n]=Var[(1/n)X1]+Var[(1/n)X2]+...+Var[(1/n)Xn]=1/(n^2)Var(X1)+1/(n^2)Var(X2)+...+1/(n^2)Var(Xn)=1/(n^2)(sigma^2+...+sigma^2)=1/(n^2)(n*sigma^2)=sigma^2/n 所以E[Z^2]=sigma^2/n+mu^2 最后一步纯粹是运算
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