作业帮（2008•南京模拟）选修4-1：几何证明选讲
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：综合作业 时间：2024/04/29 06:03:42
（2008•南京模拟）选修4-1：几何证明选讲如图，在△ABC中，∠A=60°，AB＞AC，点O是外心，两条高 BE，CF交于H点，点M，N分别在线段BH，FH上，且满足BM=CN，求
| MH+NH |
| OH |
如图在BE上取BK=CH，连接OB、OC、OK，
由三角形的外心的性质可知：∠BOC=2∠A=120°，
由三角形的垂心性质可知：∠BHC=180°-∠A=120°，
所以∠BOC=∠BHC，所以B、C、H、O四点共圆，∠OBH=∠OCH，…（3分）
又因为OB=OC，BK=CH，所以△BOK≌△COH，
因为∠BOK=∠COH，OK=OH，所以∠KOH=∠BOC=120°，∠OKH=∠OHK=30°，…（6分）
观察△OKH，有：
KH
sin120°=
OH
sin30°，则KH=
3OH，
又因为BM=CN，BK=CH，所以KM=NH，所以MH+NH=MH+KM=KH=
3OH，
故
MH+NH
OH=
3．…（8分）
由三角形的外心的性质可知：∠BOC=2∠A=120°，
由三角形的垂心性质可知：∠BHC=180°-∠A=120°，
所以∠BOC=∠BHC，所以B、C、H、O四点共圆，∠OBH=∠OCH，…（3分）
又因为OB=OC，BK=CH，所以△BOK≌△COH，
因为∠BOK=∠COH，OK=OH，所以∠KOH=∠BOC=120°，∠OKH=∠OHK=30°，…（6分）
观察△OKH，有：
KH
sin120°=
OH
sin30°，则KH=
3OH，
又因为BM=CN，BK=CH，所以KM=NH，所以MH+NH=MH+KM=KH=
3OH，
故
MH+NH
OH=
3．…（8分）