求一个微分方程的通解已知y1=xcosx是微分方程x^2y''-2xy'+(x^2+2)y=0的一个解,求其通解----

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/07 01:19:13

求一个微分方程的通解
已知y1=xcosx是微分方程x^2y''-2xy'+(x^2+2)y=0的一个解,求其通解
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这个好像是用Liouville公式吧,但是算的时候我求积分不会积,
参考答案是y=x(C1cosx+C2sinx)

直接降维呗
y2=y1*u
=xcosx u
y'=(cosx-xsinx)u+xcosxu'
y''=(-sinx-sinx-xcosx)u+(cosx-xsinx)u'+(cosx-xsinx)u'+xcosxu''
代入
x^2y''=x^2(-sinx-sinx-xcosx)u+2x^2(cosx-xsinx)u'+x^3cosxu''
-2xy'=-2x(cosx-xsinx)u-2x^2cosxu'
(x^2+2)y=(x^2+2)xcosx u
相加
-2x^3sinxu'+x^3cosxu''=0
u''-2tanx u'=0
令z=u'
dz/dx=z*2tanx
dz/z=2tanx dx
lnz=-2ln|cosx|+C
z=C/(cosx)^2
u=Ctanx+D
y2=u*xcosx=x(Csinx+Dcosx)
再问：我想问一句，为什么可以通过设y2=y1*u来求通解？
再答：对于任意的线性方程都可以这么干~ 叫降阶我也是到了国外才学到的为什么呢可以用抽象的来推导只要这么做就可以把方程的维数降一阶~

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