作业帮高等数学求特征根问题.
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/29 16:31:40
高等数学求特征根问题.
设y=(e^x)(c1sinx+c2cosx)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,其中c1,c2为任意常数,得出它对应的特征根r1=1+i,r2=1-i,求各位老师写出过程,谢谢了.
我算出来的是：r1=c1e^((1+(lnsinx)/x)x),r2=c2e^((1+(lncosx)/x)x),请问我错在哪里了,答案中居然出现虚数+-i,我真搞不懂是怎么算出来的啊!
设y=(e^x)(c1sinx+c2cosx)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,其中c1,c2为任意常数,得出它对应的特征根r1=1+i,r2=1-i,求各位老师写出过程,谢谢了.
我算出来的是：r1=c1e^((1+(lnsinx)/x)x),r2=c2e^((1+(lncosx)/x)x),请问我错在哪里了,答案中居然出现虚数+-i,我真搞不懂是怎么算出来的啊!
关于一阶微分方程：
齐次方程使用分离变量法,把x,y挪到各自一边,各自求积分
变量代换法（令u=y/x)
非齐次方程,使用公式法,y=e^(-∫p(x)dx)(c+e^(-∫p(x)q(x)dx)
还有一些特殊的,比如伯努利方程
二阶齐次方程,代换法
令y'=p,则y''=pdp/dy
层层积分法,
二阶非齐次,使用公式法
形如y''+qy'+py=Q(x)
先求齐次方程通解,
先求特征根:r^2+qr+p=0
则齐次方程通解为：
c1e^(r1x)+c2e^(r2x) 有两不等实根
(c1+c2x)1e^(r1x) 有两等实根
e^(r1x)（c1cosr2x+c2sinr2x) 有虚根r1+ir2
再求特解
如果特征根与Q(x)指数有一个相等,则可设特解为xQ(x)
如果特征根与Q(x)指数有2个相等,则可设特解为x^2Q(x)
如果特征根与Q(x)指数有没个相等,则可设特解为Q(x)
通解=特解+齐次方程解.
再问： c1e^(r1x)+c2e^(r2x) 有两不等实根 (c1+c2x)1e^(r1x) 有两等实根 e^(r1x)（c1cosr2x+c2sinr2x) 有虚根r1+ir2 你说的这三个前边俩个我知道是公式，请问第三个也是公式么？背下来就可以么？ 是r1+ir2还是r1+-ir2
再答： 公式
齐次方程使用分离变量法,把x,y挪到各自一边,各自求积分
变量代换法（令u=y/x)
非齐次方程,使用公式法,y=e^(-∫p(x)dx)(c+e^(-∫p(x)q(x)dx)
还有一些特殊的,比如伯努利方程
二阶齐次方程,代换法
令y'=p,则y''=pdp/dy
层层积分法,
二阶非齐次,使用公式法
形如y''+qy'+py=Q(x)
先求齐次方程通解,
先求特征根:r^2+qr+p=0
则齐次方程通解为：
c1e^(r1x)+c2e^(r2x) 有两不等实根
(c1+c2x)1e^(r1x) 有两等实根
e^(r1x)（c1cosr2x+c2sinr2x) 有虚根r1+ir2
再求特解
如果特征根与Q(x)指数有一个相等,则可设特解为xQ(x)
如果特征根与Q(x)指数有2个相等,则可设特解为x^2Q(x)
如果特征根与Q(x)指数有没个相等,则可设特解为Q(x)
通解=特解+齐次方程解.
再问： c1e^(r1x)+c2e^(r2x) 有两不等实根 (c1+c2x)1e^(r1x) 有两等实根 e^(r1x)（c1cosr2x+c2sinr2x) 有虚根r1+ir2 你说的这三个前边俩个我知道是公式，请问第三个也是公式么？背下来就可以么？ 是r1+ir2还是r1+-ir2
再答： 公式