作业帮高数不定积分题
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/29 17:04:16
高数不定积分题
楼上的连题目都不同呢!
∫x*e^(arctanx)/(1+x²)^(3/2) dx
令u=arctanx,x=tanu,dx=sec²udu,sinu=x/√(1+x²)
(1+x²)^(3/2)=(1+tan²u)^(3/2)=sec³u
secu=√(1+x²),cosu=1/√(1+x²)
原式=∫(tanu*e^u*sec²u)/sec³u du
=∫(e^u)sinu du
=-∫e^u dcosu
=-e^u*cosu+∫cosu de^u,分部积分法
=-e^u*cosu+∫(e^u)cosu du
=-e^u*cosu+∫e^u dsinu
=-e^u*cosu+e^u*sinu-∫sinu de^u,分部积分法
=(e^u)(sinu-cosu)-∫(e^u)sinu du,两边出现相同项,移项合拼
2∫(e^u)sinu du=(e^u)(sinu-cosu)
∫(e^u)sinu du=(1/2)(e^u)(sinu-cosu)+C
=(1/2)e^(arctanx)*[x/√(1+x²)-1/√(1+x²)]+C
=[(x-1)e^(arctanx)]/[2√(1+x²)]+C
∫x*e^(arctanx)/(1+x²)^(3/2) dx
令u=arctanx,x=tanu,dx=sec²udu,sinu=x/√(1+x²)
(1+x²)^(3/2)=(1+tan²u)^(3/2)=sec³u
secu=√(1+x²),cosu=1/√(1+x²)
原式=∫(tanu*e^u*sec²u)/sec³u du
=∫(e^u)sinu du
=-∫e^u dcosu
=-e^u*cosu+∫cosu de^u,分部积分法
=-e^u*cosu+∫(e^u)cosu du
=-e^u*cosu+∫e^u dsinu
=-e^u*cosu+e^u*sinu-∫sinu de^u,分部积分法
=(e^u)(sinu-cosu)-∫(e^u)sinu du,两边出现相同项,移项合拼
2∫(e^u)sinu du=(e^u)(sinu-cosu)
∫(e^u)sinu du=(1/2)(e^u)(sinu-cosu)+C
=(1/2)e^(arctanx)*[x/√(1+x²)-1/√(1+x²)]+C
=[(x-1)e^(arctanx)]/[2√(1+x²)]+C