证明不等式 e^x>1+(1+x)ln(1+x)(x>0) ( e^x是指e的x次方 )
来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/04/27 15:26:37
证明不等式 e^x>1+(1+x)ln(1+x)(x>0) ( e^x是指e的x次方 )
本人是这么做的:
令f(x)=e^x-(1+x)ln(1+x)-1 (求出f(x)>0,就可得出结论)
则f(x)在[0,x]上连续,在(0,x)内可导 ,由中值定理可知:存在a属于(0,x),使得 f(x)-f(0)=f‘(x)*a 成立
即 e^x-(1+x)ln(1+x)-1=[e^x-ln(1+x)-1]*a 此处a>0 很明显前部分e^x-ln(1+x)-1 >0的
可知 e^x-(1+x)ln(1+x)-1=[e^x-ln(1+x)-1]*a >0,所以不等式 e^x>1+(1+x)ln(1+x)(x>0) 成立
但是最后一步e^x-ln(1+x)-1 >0 怎么求?
本人是这么做的:
令f(x)=e^x-(1+x)ln(1+x)-1 (求出f(x)>0,就可得出结论)
则f(x)在[0,x]上连续,在(0,x)内可导 ,由中值定理可知:存在a属于(0,x),使得 f(x)-f(0)=f‘(x)*a 成立
即 e^x-(1+x)ln(1+x)-1=[e^x-ln(1+x)-1]*a 此处a>0 很明显前部分e^x-ln(1+x)-1 >0的
可知 e^x-(1+x)ln(1+x)-1=[e^x-ln(1+x)-1]*a >0,所以不等式 e^x>1+(1+x)ln(1+x)(x>0) 成立
但是最后一步e^x-ln(1+x)-1 >0 怎么求?
首先楼主中值定理用错了,f(x)-f(0)=f‘(a)*x,而不是楼主的 f(x)-f(0)=f‘(x)*a
不过对这题影响不大
这题直接求 f'(x)=e^x-ln(1+x)-1 就行
对 f'(x)求导得到f''(x)=e^x- 1/(1+x)
x>0时,e^x>1,1/(1+x)<1,所以f''(x)>0恒成立
f‘(x)单调增加
所以f'(x)>f'(0)=0
f(x)单调增加
f(x)>f(0)=0
不过对这题影响不大
这题直接求 f'(x)=e^x-ln(1+x)-1 就行
对 f'(x)求导得到f''(x)=e^x- 1/(1+x)
x>0时,e^x>1,1/(1+x)<1,所以f''(x)>0恒成立
f‘(x)单调增加
所以f'(x)>f'(0)=0
f(x)单调增加
f(x)>f(0)=0
证明不等式 e^x>1+(1+x)ln(1+x)(x>0) ( e^x是指e的x次方 )
ln(1+e的x次方 / 1+e的-x次方) 如何化为ln(e的x次方)
证明:当x>0时,不等式e的x次方>1+x成立.
证明不等式e的x次方大于1+x(x不等于0)
有几个问题1.e^e^x 就是 e的e次方的x次方 2.ln 3(x+1)^2 3.ln (x+1/x-1) ln 的
有几个问题.1.e^e^x 就是 e的e次方的x次方 2.ln 3(x+1)^2 3.ln (x+1/x-1) ln 的
e^x>1+x,x≠0 证明不等式
证明不等式当x>0时,e^x>x+1
x大于0,证明ln>[1/(e^x)-2/ex)]
用拉格朗日中值定理证明不等式 当x>0时,x*e^x>e^x-1
求极限(e的3x次方-e的x方)ln(1+x)/1-cosx
证明e^x>x+1