作业帮设函数f(x)=根号下(x^2+1) -ax 当a≥1时,试判断函数f(x)在区间[1,正无穷)上的单调性,并加以证明
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/28 19:05:39
设函数f(x)=根号下(x^2+1) -ax 当a≥1时,试判断函数f(x)在区间[1,正无穷)上的单调性,并加以证明
根号下是x^2+1
根号下是x^2+1
方法一：
∵f（x）＝√（x^2＋1）－ax,
∴f′（x）＝（x^2＋1）′/［2√（x^2＋1）］－a＝x/√（x^2＋1）－a.
∵x≧1,∴x^2＜x^2＋1,∴x＜√（x^2＋1）,∴x/√（x^2＋1）＜1,而a≧1,∴f′（x）＜0,
∴f（x）在区间［1,＋∞）上是减函数.
方法二：
引入两个自变量：x1、x2,且x2＞x1＞1.
显然有：x2^2＞x1^2,∴（x1x2）^2＋x2^2＞（x1x2）^2＋x1^2,
∴x2^2（x1^2＋1）＞x1^2（x2^2＋1）,∴x2√（x1^2＋1）＞x1√（x2^2＋1）,
∴（x1^2＋1）＋2x2√（x1^2＋1）＋x2^2＞（x2^2＋1）＋2x1√（x2^2＋1）＋x1^2,
∴［√（x1^2＋1）＋x2］^2＞［√（x2^2＋1）＋x1］^2＞1,
∴√（x1^2＋1）＋x2＞√（x2^2＋1）＋x1,
∴x2－x1＞√（x2^2＋1）－√（x1^2＋1）＞0.
∵a≧1,∴a（x2－x1）≧x2－x1＞√（x2^2＋1）－√（x1^2＋1）,
∴√（x2^2＋1）－√（x1^2＋1）－a（x2－x1）＜0.
∴f（x2）－f（x1）
＝√（x2^2＋1）－ax2－［√（x1^2＋1）－ax2］
＝√（x2^2＋1）－√（x1^2＋1）－a（x2－x1）＜0.
∴f（x）在区间［1,＋∞）上是减函数.
∵f（x）＝√（x^2＋1）－ax,
∴f′（x）＝（x^2＋1）′/［2√（x^2＋1）］－a＝x/√（x^2＋1）－a.
∵x≧1,∴x^2＜x^2＋1,∴x＜√（x^2＋1）,∴x/√（x^2＋1）＜1,而a≧1,∴f′（x）＜0,
∴f（x）在区间［1,＋∞）上是减函数.
方法二：
引入两个自变量：x1、x2,且x2＞x1＞1.
显然有：x2^2＞x1^2,∴（x1x2）^2＋x2^2＞（x1x2）^2＋x1^2,
∴x2^2（x1^2＋1）＞x1^2（x2^2＋1）,∴x2√（x1^2＋1）＞x1√（x2^2＋1）,
∴（x1^2＋1）＋2x2√（x1^2＋1）＋x2^2＞（x2^2＋1）＋2x1√（x2^2＋1）＋x1^2,
∴［√（x1^2＋1）＋x2］^2＞［√（x2^2＋1）＋x1］^2＞1,
∴√（x1^2＋1）＋x2＞√（x2^2＋1）＋x1,
∴x2－x1＞√（x2^2＋1）－√（x1^2＋1）＞0.
∵a≧1,∴a（x2－x1）≧x2－x1＞√（x2^2＋1）－√（x1^2＋1）,
∴√（x2^2＋1）－√（x1^2＋1）－a（x2－x1）＜0.
∴f（x2）－f（x1）
＝√（x2^2＋1）－ax2－［√（x1^2＋1）－ax2］
＝√（x2^2＋1）－√（x1^2＋1）－a（x2－x1）＜0.
∴f（x）在区间［1,＋∞）上是减函数.
设函数f(x)=根号下(x^2+1) -ax 当a≥1时,试判断函数f(x)在区间[1,正无穷)上的单调性,并加以证明
急：数学题如下：判断函数f（x）=x+1/x在区间（0,1）,（1,正无穷）上的单调性,并加以证明.
已知函数f(x)=2x+1 /x-3 判断函数f(x)在区间(3,正无穷)上的单调性,并证明
已知F(x)=|x|/x+2,判断函数f(x)在区间(0,正无穷)上的单调性,并加以证明
判断函数f(x)=ax/(x+1)(x-1) a不等于0 在区间（-1,1）上的单调性,并加以证明
已知函数f(x)=|x|/(x+2) (1)判断函数f(x)在区间(0,+∞)上的单调性,并加以证明
急：判断函数f(x)=x^3-3x在(1,正无穷)上的单调性,并加以证明
判断函数f(x)=log2(x^2+1)在(0,正无穷)上的单调性,并证明
设函数f(x)是偶函数,且在(负无穷,0)上是增函数,判断f(x)在(0,正无穷)上的单调性,并加以证明
判断函数f(x)=ax/(x^2-1)在区间(-1,1)的单调性,并用定义加以证明.
设函数f(x)=根号下x方+1-ax当a>1时证明f(x)在[0 正无穷)上为单调函数
判断函数f(x)=x平方分之4在区间(0,正无穷)上的单调性,并用函数单调性定义加以证明