作业帮怎样证明曲线是中心对称图形?
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/30 20:32:33
怎样证明曲线是中心对称图形?
设函数f(x)=x³+3x²+ax+b,实数a,b是常数.
证明曲线y=f(x)是中心对称图形,并求出对称中心的坐标.
设函数f(x)=x³+3x²+ax+b,实数a,b是常数.
证明曲线y=f(x)是中心对称图形,并求出对称中心的坐标.
设对称中心为(m/2,n/2)
∴f(x)+f(m-x)=n
∴x^3+3x^2+ax+b+(m-x)^3+3(m-x)^2+a(m-x)+b=(m^3+3m^2+am+2b)-3(m^2+2m)x+3(m+2)x^2=n
∴(m^3+3m^2+am+2b-n)-3(m^2+2m)x+3(m+2)x^2=0 对于任意x都成立
∴(m^3+3m^2+am+2b-n)=3(m^2+2m)=3(m+2)=0
∴m=-2,n=4-2a+2b
∴对称中心（-1,2-a+b）
再问： 请问∴f(x)+f(m-x)=n怎么来的？
再答： 在f(x)上任取一点A(x,f(x))，若都能找到一点B(t,f(t))，使A(x,y)与B(t,f(t))关于(m/2,n/2)中心对称，则y=f(x)必然为中心对称图形 即x+t=m ①；f(x)+f(t)=n ② ∴由①得 t=m-x ∴f(t)=f(m-x) ∴代入②得 f(x)+f(m-x)=n 这次明白了吗？其实就是点与点的中心对称，只不过这里的点的纵坐标由横坐标通过函数得到罢了
∴f(x)+f(m-x)=n
∴x^3+3x^2+ax+b+(m-x)^3+3(m-x)^2+a(m-x)+b=(m^3+3m^2+am+2b)-3(m^2+2m)x+3(m+2)x^2=n
∴(m^3+3m^2+am+2b-n)-3(m^2+2m)x+3(m+2)x^2=0 对于任意x都成立
∴(m^3+3m^2+am+2b-n)=3(m^2+2m)=3(m+2)=0
∴m=-2,n=4-2a+2b
∴对称中心（-1,2-a+b）
再问： 请问∴f(x)+f(m-x)=n怎么来的？
再答： 在f(x)上任取一点A(x,f(x))，若都能找到一点B(t,f(t))，使A(x,y)与B(t,f(t))关于(m/2,n/2)中心对称，则y=f(x)必然为中心对称图形 即x+t=m ①；f(x)+f(t)=n ② ∴由①得 t=m-x ∴f(t)=f(m-x) ∴代入②得 f(x)+f(m-x)=n 这次明白了吗？其实就是点与点的中心对称，只不过这里的点的纵坐标由横坐标通过函数得到罢了