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已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(1)=2,且f(x)的导数f′(x)在R上恒有f′(x)<1(x∈R),则不等

来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/01 02:07:36
已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(1)=2,且f(x)的导数f′(x)在R上恒有f′(x)<1(x∈R),则不等式f(x)<x+1的解集为(  )
A. (1,+∞)
B. (-∞,-1)
C. (-1,1)
D. (-∞,-1)∪(1,+∞)
令g(x)=f(x)-x-1,
∵f′(x)<1(x∈R),
∴g′(x)=f′(x)-1<0,
∴g(x)=f(x)-x-1为减函数,
又f(1)=2,
∴g(1)=f(1)-1-1=0,
∴不等式f(x)<x+1的解集⇔g(x)=f(x)-x-1<0=g(1)的解集,
即g(x)<g(1),又g(x)=f(x)-x-1为减函数,
∴x>1,即x∈(1,+∞).
故选A.