数学对数函数等

求值域的方法请举例说明

解题思路： 利用函数的值域求解。
解题过程：
求值域八法 求值域是《函数》这一章中的一个重要内容．限于学生高一所学，以下仅介绍八种求值域的方法． 一、图象观察法：作出函数图象，观察图象上点的纵坐标取值范围． 例1 求函数的值域． 解：的图象如下 由图象可知的值域为（-1，+∞）． 评注：此法显然适用于已知图象的形状或者图象容易作出的函数，分段函数一般宜用此法，带有绝对值的函数也多可用此法．注意作函数图象时不要漏画渐近线． 二、图象变换法：将函数解析式变形，观察此函数图象可由哪个已知值域的函数图象通过平移、伸缩变换得到． 例2 求函数的值域． 解：∵ ∴的图象可由的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到 ∵的值域为（-∞，0）∪（0，+∞） ∴的值域为（-∞，2）∪（2，+∞）． 评注：图象左右平移、伸缩不会改变函数的值域；当图象上下平移、伸缩此法时，函数的值域将作同样的变换．此法在本质上和图象观察法相同． 三、配方法：将型为二次三项式的函数解析式化成一个完全平方式加一个常数的形式，以便于求值域． 例3 求函数，的值域． 解：∵ ∴在（1，+∞）内递增 ∴的值域为（6，+∞）． 评注：解析式型为二次三项式的函数在配方后，更便于观察其单调性，也更便于作出其图象．应多注意通过换元可化成解析式型为二次三项式的函数． 四、换元法：把自变量的算术表达式用一个新的变量代替，从而将原来的函数化成以新的变量为自变量的函数，以便于求解． 例3 求函数，的值域． 解： 令，则 ∴，即值域为（1，7）． 评注：换元是一种用途很广的方法，借助于换元，可以看清函数解析式的结构，从而找出解题思路．用换元法时应注意新自变量的取值范围． 五、逆求法：用y表示自变量x或x的算术表达式，由自变量x或x的算术表达式的取值范围得到关于y的不等式，解不等式． 例4 求函数的值域． 解：由可得 ∵ ∴ 解得，即值域为（0，1]． 评注：在用y表示自变量x或x的算术表达式的过程中只宜用加减乘除，不要用其它运算，乘方、开方尤其不能用．据x或x的算术表达式的取值范围得到关于y的不等式时，不必考虑原解析式分母不能为零的限制，如本例不必考虑． 六、单调区间法：先求出函数的单调区间，再求出函数在每个单调区间上的取值范围，最后取其并集． 例5 求函数的单调性． 解：由求得的定义域为（-1，1） ∵在（-1，1）内单调递减，在（-1，1）内单调递减，而在（-1，1）内单调递增， ∴在（-1，1）内单调递减 即在定义域（-1，1）内单调递减 易知，当x无限接近于-1但保持大于-1时，函数值趋向于+∞；当x无限接近于1但保持小于1时，函数值趋向于-∞； ∴的值域为（-∞，+∞）． 评注：因为会用此法必先会求函数单调区间，所以常见函数的单调性应熟记，两个单调函数运算后的单调性也应熟记． 七、复合函数法：先观察出此函数是由哪几个函数复合而成，把里层函数值域当作外一层函数定义域，由内而外逐层求值域，直到求出最外层值域为止． 例6 求函数的值域． 解：由求得的定义域为（-∞，0） 易知此函数是由，、和三个函数自内向外复合而成 ∵，∴ ∵，∴ ∴，即值域为（-∞，lg5）． 评注：此法在本质上相当于多次换元．注意一定要先求函数定义域，将其作为最里层函数的定义域． 八、判别式法：因为每个函数值y都有相应的自变量值x，所以当函数解析式可以看作关于x的一元二次方程时，判别式大于等于0，解之即可． 例7 求函数的值域． 解：由得 当y=0时x=0，因此0是函数值 当y≠0时，△= ∴ ∴或 即值域为（-∞，]∪[1，+∞）． 评注：可用此法求值域的函数必须满足如下三个条件：1解析式为分式（二次函数的解析式可看作分母为1的分式），分子分母至少有一个是二次三项式，另一个是次数不大于二的多项式；2除了分母不等于0的限制外，对自变量不再有别的限制；3分子分母没有公因式．
最终答案：略