a+b+c≥3×(立方根 abc)

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/29 23:15:06

a+b+c≥3×(立方根 abc)
条件是：a,b,c 都大于零
认为成立的话帮证明一下,不成立的话举个反例,

一定成立.该结果可由a^3+b^3+c^3>=3abc得到(将a,b,c分别换成三次根号a,b,c即可),以下用高中方法证明a^3+b^3+c^3>=3abc:
先证a^3+b^3>=ba^2+ab^2:
(a^3+b^3)-(ba^2+ab^2)=(a^3-ba^2)-(ab^2-b^3)
=(a-b)a^2-(a-b)b^2=(a^2-b^2)(a-b)=(a+b)(a-b)^2
因为a>0,b>0,易知上式大于等于零,故a^3+b^3>=ba^2+ab^2成立.
同理可得b^3+c^3>=bc^2+cb^2,a^3+c^3>=ca^2+ac^2,三式相加得
2(a^3+b^3+c^3)>=(ba^2+bc^2)+(ab^2+ac^2)+(cb^2+ca^2)
=b(a^2+c^2)+a(b^2+c^2)+c(a^2+b^2)
>=b*2ac+a*2bc+c*2ab=6abc
所以a^3+b^3+c^3>=3abc(当且仅当a=b=c时取等号)

怎么证明均值定理（a+b+c）/3大于等于（立方根abc）已知：a,b,c为实数且满足a+b+c=0,abc=8.c>0,求证：c≥32的立方根.速求. 若对于a>0b>0c>0有a+b+c≥3×abc的立方根.当且仅当a=b=c时取等号.则当X﹥0时.32xˆ2 若实数abc满足a^2+(5+b)^2+根号(c+1)=3(2a-3),求-(2b-c)/a的立方根用实验的方法比较三个正数a,b,c的算术平均值3分之a+b+c和它们的几何平均值abc的立方根的大小. 证明（a+b+c）/3大于或等于a*b*c的立方根根号a的平方-|a+b|+根号(c-a+b)+|b+c|+b的3次立方根已知,a的立方根=4,且（b-2c+1）^2+根号（c-3）=0.求：a+b^3+c^3的立方根下列说法中,正确的是（） A.-0.64没有立方根 B.27的立方根是+-3 C.9的立方根是3 已知a.b.c>0 求证a^ab^bc^c≥(abc)^a+b+c/3 已知立方根c=2,且(a-1)的平方+根号下b-3=0,求a+6b+c的立方根. 已知立方根c=2,且(a-1)的平方+根号下b-3=0,求a+6b+c的立方根(写详细过程）