一道关于圆锥曲线（椭圆）的题

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/20 11:35:31

一道关于圆锥曲线（椭圆）的题
如图：椭圆（x^2/a^2）+（y^2/b^2）=1（a〉b〉0）与过A（2,0）B（0,1）的直线有且只有一个公共点T,且椭圆的离心率为e=（根号3）/2.
1）求椭圆方程
2）设F1,F2分别为椭圆的左右焦点,求证：｜AT｜^2=（1/2）*｜AF1｜*｜AF2｜

(1)问：AB直线方程为y=(2-x)/2
而e=c/a,则e²=c²/a²=3/4
4c²=3a²,而c²=a²-b²,则4a²-4b²=3a²,a=2b
则椭圆方程为x²/4b²+y²/b²=1
联立直线与椭圆方程,得：
2y²-2y+1-b=0
所以△=（-2）²-4×2×(1-b)=0
b²=1/8,则a²=4b²=1/2
所以椭圆方程为2x²+8b²=1
(2)问：再次联立方程,求出T点坐标为(1,1/2)
则AT²=(1-2)²+(1/2-0)²=5/4
F1T=(1+c)²+(1/2-0)²
F2T=(1-c)²+(1/2-0)²
而c=根号（a²-b²）=根号（3/8）
代入,计算得
｜AT｜²=（1/2）×｜AF1｜×｜AF2｜

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