作业帮已知函数f（x）=x3+x．
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/06/18 18:50:29
已知函数f（x）=x3+x．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；
（2）求证：f（x）是R上的增函数；
（3）若f（m+1）+f（2m-3）＜0，求m的取值范围．
（参考公式：a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2））
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；
（2）求证：f（x）是R上的增函数；
（3）若f（m+1）+f（2m-3）＜0，求m的取值范围．
（参考公式：a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2））
（1）f（x）是R上的奇函数
证明：∵f（-x）=-x3-x=-（x3+x）=-f（x），
∴f（x）是R上的奇函数
（2）设R上任意实数x1、x2满足x1＜x2，∴x1-x2＜0，
f（x1）-f（x2）=（x1-x2）+[（x1）3-（x2）3]=（x1-x2）[（x1）2+（x2）2+x1x2+1]=（x1-x2）[（x1+
1
2x2）2+
3
4x22+1]＜0恒成立，
因此得到函数f（x）是R上的增函数．
（3）f（m+1）+f（2m-3）＜0，可化为f（m+1）＜-f（2m-3），
∵f（x）是R上的奇函数，∴-f（2m-3）=f（3-2m），
∴不等式进一步可化为f（m+1）＜f（3-2m），
∵函数f（x）是R上的增函数，
∴m+1＜3-2m，
∴m＜
2
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证明：∵f（-x）=-x3-x=-（x3+x）=-f（x），
∴f（x）是R上的奇函数
（2）设R上任意实数x1、x2满足x1＜x2，∴x1-x2＜0，
f（x1）-f（x2）=（x1-x2）+[（x1）3-（x2）3]=（x1-x2）[（x1）2+（x2）2+x1x2+1]=（x1-x2）[（x1+
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2x2）2+
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4x22+1]＜0恒成立，
因此得到函数f（x）是R上的增函数．
（3）f（m+1）+f（2m-3）＜0，可化为f（m+1）＜-f（2m-3），
∵f（x）是R上的奇函数，∴-f（2m-3）=f（3-2m），
∴不等式进一步可化为f（m+1）＜f（3-2m），
∵函数f（x）是R上的增函数，
∴m+1＜3-2m，
∴m＜
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