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如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点D是AC的中点,且∠A+∠CDB=90°,过点A,D作⊙O,使圆心O在AB上,⊙

来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/16 01:33:27
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点D是AC的中点,且∠A+∠CDB=90°,过点A,D作⊙O,使圆心O在AB上,⊙O与AB交于点E。
(1)求证:直线BD与⊙O相切;
(2)若AD∶AE=4∶5,BC=6,求⊙O的直径。
(1)证明:连接OD,
∵OA=OD,
∴∠A=∠ADO,
又∵∠A+∠CDB=90°,
∴∠ADO+∠CDB=90°,
∴∠ODB=180°-(∠ADO+∠CDB)=90°,
∴BD⊥OD,
∴BD是⊙O切线;
(2)连接DE,
∵AE是直径,
∴∠ADE=90°,
又∵∠C=90°,
∴∠ADE=∠C,
∴DE∥BC,
又∵D是AC中点,
∴AD=CD,
∴AD∶CD=AE∶BE,
∴AE=BE,
∵DE∥BC,
∴△ADE∽△ACB,
∴AD∶AE=AC∶AB,
∴AC∶AB=4∶5,
设AC=4x,AB=5x,那么BC=3x,
∴BC∶AB=3∶5,
∵BC=6,
∴AB=10,
∴AE= AB=10。