阿基里斯与乌龟的传说

阿基里斯与乌龟的传说

阿基里斯是古希腊神话中善跑的英雄.在他和乌龟的竞赛中,他速度为乌龟十倍,乌龟在前面100米跑,他在后面追,但他不可能追上乌龟.因为在竞赛中,追者首先必须到达被追者的出发点,当阿基里斯追到100米时,乌龟已经又向前爬了10米,于是,一个新的起点产生了；阿基里斯必须继续追,而当他追到乌龟爬的这10米时,乌龟又已经向前爬了1米,阿基里斯只能再追向那个1米.就这样,乌龟会制造出无穷个起点,它总能在起点与自己之间制造出一个距离,不管这个距离有多小,但只要乌龟不停地奋力向前爬,阿基里斯就永远也追不上乌龟!　　“乌龟” 动得最慢的物体不会被动得最快的物体追上.由于追赶者首先应该达到被追者出发之点,此时被追者已经往前走了一段距离.因此被追者总是在追赶者前面.” 　　如柏拉图描述,芝诺说这样的悖论,是兴之所至的小玩笑.首先,巴门尼德编出这个悖论,用来嘲笑"数学派"所代表的毕达哥拉斯的" 1-0.999...>0"思想.然后,他又用这个悖论,嘲笑他的学生芝诺的"1-0.999...=0,但1-0.999...>0"思想.最后,芝诺用这个悖论,反过来嘲笑巴门尼德的"1-0.999...=0,或1-0.999...>0"思想.　　有人解释道：若慢跑者在快跑者前一段,则快跑者永远赶不上慢跑者,因为追赶者必须首先跑到被追者的出发点,而当他到达被追者的出发点,慢跑者又向前了一段,又有新的出发点在等着它,有无限个这样的出发点.　　芝诺当然知道阿基里斯能够捉住海龟,跑步者肯定也能跑到终点.　　类似阿基里斯追上海龟之类的追赶问题,我们可以用无穷数列的求和,或者简单建立起一个方程组就能算出所需要的时间,那么既然我们都算出了追赶所花的时间,我们还有什么理由说阿基里斯永远也追不上乌龟呢?然而问题出在这里：我们在这里有一个假定,那就是假定阿基里斯最终是追上了乌龟,才求出的那个时间.但是芝诺的悖论的实质在于要求我们证明为何能追上.上面说到无穷个步骤是难以完成.　　以上初等数学的解决办法,是从结果推往过程的.悖论本身的逻辑并没有错,它之所以与实际相差甚远,在于这个芝诺与我们采取了不同的时间系统.人们习惯于将运动看做时间的连续函数,而芝诺的解释则采取了离散的时间系统.即无论将时间间隔取的再小,整个时间轴仍是由有限的时间点组成的.换句话说,连续时间是离散时间将时间间隔取为无穷小的极限.　　其实这归根到底是一个时间的问题.譬如说,阿基里斯速度是10m/s,乌龟速度是1m/s,乌龟在前面100m.实际情况是阿基里斯必然会在100/9秒之后追上乌龟.按照悖论的逻辑,这100/9秒可以无限细分,给我们一种好像永远也过不完的印象.但其实根本不是如此.这就类似于有1秒时间,我们先要过一半即1/2秒,再过一半即1/4秒,再过一半即1/8秒,这样下去我们永远都过不完这1秒,因为无论时间再短也可无限细分.但其实我们真的就永远也过不完这1秒了吗?显然不是.尽管看上去我们要过1/2、1/4、1/8秒等等,好像永远无穷无尽.但其实时间的流动是匀速的,1/2、1/4、1/8秒,时间越来越短,看上去无穷无尽,其实加起来只是个常数而已,也就是1秒.所以说,芝诺的悖论是不存在的.