两个全等正三角形叠合,使它们重复的部分是一个凸六边形ABCDEF,则……证明题,

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/28 04:16:27

两个全等正三角形叠合,使它们重复的部分是一个凸六边形ABCDEF,则……证明题,
两个边长为1的全等正三角形叠合,使它们重复的部分是一个凸六边形ABCDEF,则有如下两个有趣性质:(1)AB+CD+EF=BC+DE+FA;(2)AB2+CD2+EF2=BC2+DE2+FA2.
请证明.
（不好意思,貌似没图,不过应该自己话的出……）

这题实质上是证明凸六边形ABCDEF互相间隔的三条边之和相等,可以看出这几个边事实上是等价的,这样我就用一个不太常用的逻辑的方法给出证明,你可以拿去给老师看一下.
看图,假设AB+CD+EF>BC+DE+FA,则对于任意的都有a+c+e>b+d+f,现在我们将图形旋转一个角度,因为AB+CD+EF>BC+DE+FA成立,此时AB变为f,CD变为b,EF变为d,又可以得出f+b+d>a+c+e,与上面a+c+e>b+d+f矛盾,则假设不成立,同理可得出AB+CD+EF<BC+DE+FA与不成立,所以AB+CD+EF=BC+DE+FA.
原理：此处为什么可以做这样的代换,是因为我们可以人为的定义哪一条边是AB,哪一条边是CD等等,这样假设它们有一个大小关系的逻辑（不相等）,我都可以以此逻辑关系为基础通过普遍情况的一个代换推出一个与基础矛盾的结论,反过来证明了假设的不成立,得出命题成立.
第二小题用第一小题的结论,只要在证明AB*CD+EF*AB+CD*EF=BC*DE+FA*BC+DE*FA,用到两个三角形重叠后剩余的两组三个三角形面积和相等（因为重叠的面积一样大,总的正三角形面积一样）,具体可以自己思考一下,S＝1/2 * ab*sinC,找出关系即可.（其实第一道题可以直接用剩余面积相等解答）
不知道你能不能明白这种解法,数学上很多问题都是通过这种方式证明出来的（比如证明一个数是无理数）,单纯的代数或是几何解法也可以,只是会更麻烦一些.如果必须用几何的方法,那就自己思考一下,我已经提示了一些了,这个方法就当是告诉你一个新的知识吧.

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