（2010•河南模拟）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，AA1=BC=2AC=2，D为AA1中点

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：综合作业时间：2024/04/30 05:52:10

（2010•河南模拟）如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AA₁=BC=2AC=2，D为AA₁中点．
（Ⅰ）求证：CD⊥B₁C₁；
（Ⅱ）求证：平面B₁CD⊥平面B₁C₁D；
（Ⅲ）求三棱锥C₁-B₁CD的体积．

证明：（Ⅰ）∵∠A₁C₁B₁=∠ACB=90°
∴B₁C₁⊥A₁C₁
又由直三棱柱性质知B₁C₁⊥CC₁（2分）
∴B₁C₁⊥平面ACC₁A₁又CD⊂平面ACC₁A₁
∴B₁C₁⊥CD（4分）

（Ⅱ）由AA₁=BC=2AC=2，D为AA₁中点，
可知DC＝DC1＝
2，
∴DC²+DC₁²=CC₁²=4即CD⊥DC₁（6分）
又B₁C₁⊥CD∴CD⊥平面B₁C₁D
又CD⊂平面B₁CD
故平面B₁CD⊥平面B₁C₁D（9分）
（Ⅲ）V_C1-DCB₁=V_B1-DCC₁
=
1
3•S△DCC1•B1C1
=
1
3×
1
2×2×1×2
=
2
3．（12分）