作业帮求函数f(x)=(1/4)^x-(1/2)^x+1在x∈[-3,2]上的值域
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/16 04:38:46
求函数f(x)=(1/4)^x-(1/2)^x+1在x∈[-3,2]上的值域
请证明一下单调性
请证明一下单调性
用换元法解答简便
f(x)=(1/4)^x-(1/2)^x+1=[(1/2)^x]^2-(1/2)^x+1
令a=(1/2)^x,因为x属于[-3,2],所以a属于[0.25,8]
所以f(a)=a^2-a+1=(a-0.5)^2+0.75
所以f(a)在[0.25,0.5)单调递减,即f(x)在(1,2]单调递减
f(a)在(0.5,8]单调递增,即f(x)在[-3,1)单调递增
当a=0.5时,f(a)有最小值0.75,此时x=1
当a=8时,f(a)有最大值57,此时x=-3
所以f(x)值域为[0.75,57]
f(x)=(1/4)^x-(1/2)^x+1=[(1/2)^x]^2-(1/2)^x+1
令a=(1/2)^x,因为x属于[-3,2],所以a属于[0.25,8]
所以f(a)=a^2-a+1=(a-0.5)^2+0.75
所以f(a)在[0.25,0.5)单调递减,即f(x)在(1,2]单调递减
f(a)在(0.5,8]单调递增,即f(x)在[-3,1)单调递增
当a=0.5时,f(a)有最小值0.75,此时x=1
当a=8时,f(a)有最大值57,此时x=-3
所以f(x)值域为[0.75,57]
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