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关于 二次型中（不要求正交变换） 求得的特征向量不进行正交化 得出的结果和正交化不一样

来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/27 18:31:54
关于 二次型中（不要求正交变换） 求得的特征向量不进行正交化 得出的结果和正交化不一样
字数超了 不能追问 只能重开贴了  在这个网址的讨论


    

经过我的演算,答案是对的,论坛里的讨论错了.显然P1不是正交矩阵,那么直接使用相似对角化,P1-1AP得出特征值为对角的对角矩阵,如果对P1单位化,那么就变成了正交矩阵,此时使用合同法PTAP,也得出了相同结果
于是,总结为：
对特征向量〔不考虑特征值重根,如果重根,进行正交基变换,但不单位化〕
方法一,使用相似对角化法,使用P的逆矩阵P-1AP
方法二对向量组单位化,此时,变为正交矩阵,那么使用合同法,PTAP

经过我用了两道题结果,是对的,那么,我就有了几个疑问
疑问一：
方法一中,并没有涉及到合同,方法二中,正交矩阵PT＝P-1,实际上也是一种相似对角化的方法,就是说,二次型转换不必使用转置矩阵,这么看的话,合同法实际上是一种对相似的简化,毕竟转置矩阵相对于逆矩阵更容易得到, 还是说 仅限于实对称矩阵中相似必定合同或者什么限制条件
疑问二
如果直接对为单位化的P使用PTAP  得到一个对角矩阵,按着二次型写出来  答案明显不一样  （就是论坛里的结果 8y2^2+27y3^2）  这个结果对吗?
找到这个题了, 电子版 411 页.
这样不对. 变换必须是合同变换才行(故需P为正交矩阵)
P1^-1AP1 = diag(0,4,9)
这没问题
但是 x = P1y 代入二次型得到的是
f = (P1y)^TA(P1y)
= y^T (P1^TAP1) y
≠ y^T (P1^-1AP1) y = 4y2^2+9y3^2
就算相等,也是偶然
再问： 如果矩阵有互补相同特征值且特征向量存在不正交的向量，还能否化作正交矩阵？能不能进行正交变换
再答： 不懂你说的什么
再问： 矩阵A有三个不相同的特征值，那么相应的有三个特征向量，怎么把这个向量组变成正交矩阵
再答： 单位化就行了
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