f(a)/g(a) 全体,高数的一些问题

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/01 00:32:30

f(a)/g(a) 全体,高数的一些问题
我纠结了一个问题好久了,我用不太标准的语言来表达一下我的意思.F是一个域,如果a是域F的代数元,那么代数扩张,域F(a)内所有元素可以用关于a的多项式（系数属于F）的式子来表示,对不?如果说a是域F的超越元,域F(a)内的所有元素可以用f(a)/g(a)来表示,对不.
于是我的问题来了,如果a是域F的代数元,我怎么知道f(a)/g(a)的数也同样可以用关于a的多项式来表达出来呢?
比如F=Q,a满足 a^3+a^2+a+1=0 （且a不属于Q),在带数扩张Q(a)中,(2a+3a）/( 4a^2+3a+6) 一定能够用c0 a^2 + c1 a + c2 的式子来表示吗?
不要意思,我是初学者,表达得不是很清楚

对.对.
a是F的代数元,令它的极小多项式为p(x),次数为n.那么这是一个不可约多项式,所以对于任何次数小于n的多项式u(x),总有p(x)与u(x)互质,即(p(x),u(x))=1.那么由一个著名的引理可知,存在两个多项式s和t,使得
sp+tu=1
那么
tu≡1 (mod p(x))
所以u(x)在模p(x)的环里是可逆的,而u(x)是任意的,所以F[x]/(p(x))构成一个域.
所以任意两个多项式f(x),g(x)有f(x)/g(x)仍是一个次数小于n的多项式~
再问：谢谢。你的答复。我也知道是正确的。不过推导过程，你可以给我说说吗。下面是我自己的看法。所有多项式的除法归结于求出1/u(x), 用u(x)除p(x),得 p(x)=u(x)[...]+b(x) 其中 def b(x)

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