椭圆与直线相交的问题.帮个忙,在下感激不劲!

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/16 02:50:43

椭圆与直线相交的问题.帮个忙,在下感激不劲!
中心在原点,焦点在X轴上,e=1/2的椭圆与直线y=2/3根号3+4交于M.N两点,且OM垂直ON.(1)求其方程 (2)已知点A(1/2,0),P为椭圆上点,求|PA|最大值

我想应该是直线y=2/3sqrt(3)x+4吧
(1)先用一个未知数表示椭圆的方程,e^2=c^2/a^2=1/4 a^2=4c^2 b^2=a^2-c^2=3c^2 于是椭圆的方程就可以表示为 x^2/4c^2+y^2/3c^2=1
联立 {y=2/3sqrt(3)x+4,x^2/4c^2+y^2/3c^2=1}
化简得 25x^2+64sqrt(3)x+192-36c^2=0
M(x1,y1) N(x2,y2) OM⊥ON x1x2+y1y2=0 [向量数量积为0]
y1y2=[2/3sqrt(3)x1+4]*[2/3sqrt(3)x2+4] 代入
x1x2+y1y2=7/3x1x2+8/3*sqrt(3)(x1+x2)+16=0
由韦达定理 x1+x2=-64sqrt(3)/25 x1x2=(192-36c^2)/25
代入解方程得到 c^2=4
所以椭圆方程为 x^2/16+y^2/12=1
(2)|PA|^2=(x-1/2)^2+y^2=x^2-x+1/4+(1-x^2/16)*12=1/4*x^2-x+1+45/4
=1/4(x-2)^2+45/4 而 -4≤x≤4
max{|PA|^2}=1/4*(-4-2)^2+45/4=81/4

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